@ccueil Colles

Réunion de deux sous-espaces vectoriels


Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel $E$. Montrer que $\Bigl( F\cap G \text{ sous-espace vectoriel de } E\Bigr)\iff\Bigl( F\subset G \text{ ou } G\subset F\Bigr)$.

Correction
Si $F\subset G$ alors $F\cap G=G$, et si $G\subset F$ alors $F\cap G=F$ et donc, comme $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels, l'inclusion d'un des sous-espaces dans l'autre suffit à ce que la réunion des deux soit aussi un sous-espace vectoriel.

Montrons maintenant que c'est aussi nécessaire.
Supposons donc que $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel, et que, par exemple, $F\not\subset G$.
Il existe alors $x\in F$, $x\notin G$. Si $y\in G$ on a alors $x+y\in F\cap G$ car $x\in F\cap G$ et $y\in F\cap G$ et $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel.
On a alors aussi $x+y\in F$, car sinon si $x+y\in G$ on aurait aussi $x=(x+y)-y\in G$ ce qui n'est pas le cas.
On a donc alors de la même façon $y=(x+y)-x\in F$, ce qui montre donc que $G\subset F$.

On a donc montré que, si $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel, alors nécessairement un de ces deux sous-espaces est inclus dans l'autre.

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Tag:Espace vectoriel

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