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Réunion de deux sous-espaces vectoriels


Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel $E$. Montrer que $\Bigl( F\cup G \text{ sous-espace vectoriel de } E\Bigr)\iff\Bigl( F\subset G \text{ ou } G\subset F\Bigr)$.

Correction
Si $F\subset G$ alors $F\cup G=G$, et si $G\subset F$ alors $F\cup G=F$ et donc, comme $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels, l'inclusion d'un des sous-espaces dans l'autre suffit à ce que la réunion des deux soit aussi un sous-espace vectoriel.

Montrons maintenant que c'est aussi nécessaire.
Supposons donc que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel, et que, par exemple, $F$ n'est pas inclus dans $G$ et $G$ n'est pas inclus dans $F$.
Il existe alors $x\in F$, $x\notin G$ et $y\in G$, $y\notin F$.
On a alors $x+y\in F\cup G$ car $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel et que $x\in F\cup G$ et $y\in F\cup G$.
On a donc $x+y\in F$ ou $x+y\inG$. Mais, si $x+y\in F$, alors $y=(x+y)-x\in F$ ce qui est contradictoire, et si $x+y\in G$, alors $x=(x+y)-y\in G$ ce qui est aussi contradictoire.

On a donc montré que, si $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel, alors nécessairement un de ces deux sous-espaces est inclus dans l'autre.

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Tag:Espace vectoriel

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