Rolle et polynômes


Soit $P$ un polynôme de $\R[X]$ qui dont toutes les racines sont simples.
Montrer que toutes les racines de $P'$ sont aussi simples.

Correction
On considère un polynôme de degré $n$, qui admet donc $n$ racines réelles. Si toutes les racines $\alpha_i$ de $P$ sont simples et distinctes: $\alpha_1<\alpha2<\dots<\alpha_n$ alors, en appliquant le théorème de Rolle $n-1$ fois à la fonction polynôme $x\mapsto P(x)$ dérivable sur $\R$ donc sur chaque intervalle $\lb\alpha_i;\alpha_{i+1}\rb$, on obtient $n-1$ racines réelles distinctes, car elles appartiennent toutes à des intervalles disjoints $]\alpha_i;\alpha_{i+1}[$, pour $P'$.

Il reste à étudier le cas où des racines sont multiples. Supposons maintenant que $P$ admettent $m\leqslant n$ racines réelles distinctes, chacune de multiplicité $m_i$ avec
\[\sum_{i=1}^mm_i=n\]

D'une part, chaque racine de $P$ de multiplicité $m_i>1$ est aussi racine de $P'$ de multiplicité $m_i-1$, et d'autre part, le théorème de Rolle nous fournit aussi $m-1$ autres racines réelles distinctes pour $P'$.
Le nombre de racine réelles de $P'$ est donc
\[\begin{array}{ll}m-1+\dsp\sum_{i=1}^m\left( m_i-1\right)
&=m-1+\dsp\sum_{i=1}^mm_i-\sum_{i=1}^m1\\
&=m-1+n-m\\
&=n-1\enar\]

On a donc toutes les racines de $P'$ qui sont donc bien toutes réelles.

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