Rolle et polynômes
Soit un polynôme de qui dont toutes les racines sont simples.
Montrer que toutes les racines de sont aussi simples.
Montrer que toutes les racines de sont aussi simples.
Correction
On considère un polynôme de degré , qui admet donc racines réelles. Si toutes les racines de sont simples et distinctes: alors, en appliquant le théorème de Rolle fois à la fonction polynôme dérivable sur donc sur chaque intervalle , on obtient racines réelles distinctes, car elles appartiennent toutes à des intervalles disjoints , pour .
Il reste à étudier le cas où des racines sont multiples. Supposons maintenant que admettent racines réelles distinctes, chacune de multiplicité avec
D'une part, chaque racine de de multiplicité est aussi racine de de multiplicité , et d'autre part, le théorème de Rolle nous fournit aussi autres racines réelles distinctes pour .
Le nombre de racine réelles de est donc
On a donc toutes les racines de qui sont donc bien toutes réelles.
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On considère un polynôme de degré , qui admet donc racines réelles. Si toutes les racines de sont simples et distinctes: alors, en appliquant le théorème de Rolle fois à la fonction polynôme dérivable sur donc sur chaque intervalle , on obtient racines réelles distinctes, car elles appartiennent toutes à des intervalles disjoints , pour .
Il reste à étudier le cas où des racines sont multiples. Supposons maintenant que admettent racines réelles distinctes, chacune de multiplicité avec
D'une part, chaque racine de de multiplicité est aussi racine de de multiplicité , et d'autre part, le théorème de Rolle nous fournit aussi autres racines réelles distinctes pour .
Le nombre de racine réelles de est donc
On a donc toutes les racines de qui sont donc bien toutes réelles.
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Tags:PolynômeRolle - AF
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