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Rolle et polynômes


Soit $P$ un polynôme de $\R[X]$ de degré $n$ ayant $n$ racines réelles distinctes.
  1. Démontrer que toutes les racines de $P'$ sont réelles.
  2. En déduire que le polynôme $P^2+1$ n'admet que des racines simples.
  3. Reprendre les questions si l'on suppose simplement que toutes les racines de $P$ sont réelles.

Correction
  1. On peut noter $\alpha_i$ les racines telles que $\alpha_1<\dots<\alpha_n$. La fonction polynômiale $x\mapsto P(x)$ est continue et dérivable $\R$, donc sur chaque intervalle $[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$ et s'annule aux bornes de ces intervalles.
    On en déduit donc, d'après le théorème de Rolle, l'existence de $\beta_i\in]\alpha_i,\alpha_{i+1}[$ tel que $P'(\beta_i)=0$. Les réels $\beta_i$, racines de $P'$, sont alors distincts, car appartenant à des intervalles disjoints. Comme de plus $P'$ est de degré $n-1$, on a donc trouvé toutes les racines de $P'$ qui sont bien réelles (et simples).
  2. On note $Q=P^2+1$. Tout d'abord, ce polynôme n'a pas de racine réelle, car pour tout réel $x$, on a $Q(x)=P^2(x)+1\geqslant1>0$, et ses racines sont donc nécessairement complexes,
    De plus, sa dérivée est $Q'=2PP'$. $P$ a $n$ racines réelles distinctes et $P'$ en a $n-1$ aussi réelles et distinctes.
    On a ainsi $n+n-1=2n-1$ racines réelles toutes distinctes pour le polynôme $Q$ qui est de degré $2n-1$. Ainsi, toutes les racines de $Q'$ sont réelles alors que celles de $Q=P^2+1$ sont toutes complexes: $Q$ et $Q'$ nont donc aucune racine commune et toutes les racines de $Q$ sont nécessairement simples.
  3. On a traité jusque là le cas où toutes les racines sont réelles et simples. Supposons maintenant que $P$ admettent $m\leqslant n$ racines réelles distinctes, chacune de multiplicité $m_i$ avec
    \[\sum_{i=1}^mm_i=n\]

    D'une part, chaque racine de $P$ de multiplicité $m_i>1$ est aussi racine de $P'$ de multiplicité $m_i-1$, et d'autre part, le théorème de Rolle nous fournit aussi $m-1$ autres racines réelles distinctes pour $P'$.
    Le nombre de racine réelles de $P'$ est donc
    \[\begin{array}{ll}m-1+\dsp\sum_{i=1}^m\left( m_i-1\right)
&=m-1+\dsp\sum_{i=1}^mm_i-\sum_{i=1}^m1\\
&=m-1+n-m\\
&=n-1\enar\]


    On a toujours $Q=P^2+1$ et donc $Q'=2PP'$ qui a donc toujours $2n-1$ racines réelles.
    $Q$ et $Q'$ n'ont donc toujours aucune racine commune et donc les racines de $Q$ sont toutes simples.


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