Série entière presque géométrique


Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série $\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^n}{n+1}$.

Correction
Si $u_n=\dfrac{x^n}{n+1}$ est le terme général de la série, on a $\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x|\dfrac{n+1}{n+2}\to|x|$ lorsque $n\to+\infty$.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que $|x|<1$.

Soit donc, pour $|x|<1$, $f(x)\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^n}{n+1}$.
et, $g(x)=xf(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence, $g'(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}x^n=\dfrac1{1-x}$.

On trouve alors en intégrant $g(x)=-\ln(1-x)$ d'où $f(x)=-\dfrac1x\ln(1-x)$.

Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série: $f(x)=1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+\dots$ donc $f(0)=1$.
Avec le résultat trouvé, comme en 0, $\ln(1-x)\sim -x$, on a bien en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée $f(x)=1$.


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