Série entière presque géométrique


Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série $\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$.

Correction
Si $u_n=\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$ est le terme général de la série, et on a $\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x|^2\dfrac{2n+1}{2n+3}\to|x|^2$ lorsque $n\to+\infty$.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que $|x|<1$.

Soit donc, pour $|x|<1$, $f(x)\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$.
et, $g(x)=xf(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence, $g'(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}x^{2n} =\dsp\sum_{n\geqslant0}\left( x^2\rp^n =\dfrac1{1-x^2}$.

On peut intégrer directement en $\text{argtanh}$, ou en décomposant en éléments simples: $\dfrac1{1-x^2}=\dfrac1{(1-x)(1+x)}=\dfrac{1/2}{1-x}+\dfrac{1/2}{1+x}$.
On trouve alors en intégrant $g(x)=-\dfrac12\ln(1-x)+\dfrac12\ln(1+x) =\dfrac12\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\rp$, d'où finalement $f(x)=\dfrac1{2x}\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\rp$,

Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série: $f(x)=1+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^4}{5}+\dots$ donc $f(0)=1$.
Avec le résultat trouvé, comme en 0, $\ln(1+x)\sim x$, donc $f(x)=\dfrac1{2x}\lp\ln(1+x)-\ln(1-x)\rp\sim1$ on a bien en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée $f(x)=1$.


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