@ccueil Colles

Série géométrique dérivée, loi du 1er succès et loi du nombre de succès avec une pièce


On possède une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d'obtenir pile soit 0,3.
  1. On lance 10 fois la pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois pile?
  2. On lance la pièce jusqu'à ce que l'on obtienne pile pour la première fois. Donner la probabilité de lancer 5 fois la pièce. Combien effectuera-t-on en moyenne de lancers?


Correction
  1. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus au cours des 10 lancers. $X$ est le nombre de réalisations de l'événement "le lancer donne pile" de probabilité constante $0,3$ au cours de 10 lancers indépendants.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$, et on a donc
    \[P(X=3)=\binom{10}3 (0,3)^3(1-0,3)^{10-3}\simeq 0,27.\]

  2. Soit $Y$ le nombre de lancers effectués jusqu'à l'obtention de pile pour la première fois.
    $Y$ est le temps d'attente de la première réalisation de l'événement "obtenir pile" de probabilité constante $0,3$ lors d'une suite de lancers indépendants. $Y$ suit donc la loi géométrique de paramètre $0,3$. On a alors $P(Y=5)=0,7^4\,0,3$ Le nombre moyen de lancers est donné par l'espérance, soit, pour la loi géométrique
    \[E(Y)=\dfrac1{0,3}=\frac{10}3\]

    soit, en moyenne, un peu plus de 3 lancers.


Cacher la correction


Tag:Variables aléatoires discrètes

Autres sujets au hasard: Lancer de dés