@ccueil Colles

Signe d'une fonction dont la dérivée seconde est négative


Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[a,b]$ telle que $f(a)=f(b)=0$ et pour tout $x\in]a,b[$, $f.
Montrer que, pour tout $x\in[a,b]$, $f(x)\geqslant 0$.

Correction
Méthode 1: que des accroissements finis
Soit $x\in]a;b[$, alors le théorème des accroissements finis sur $[a;x]$ d'une part, puis sur $[x;b]$ d'autre part donne l'existence de $\alpha\in]a;x[$ et $\beta\in]x;b[$ et
\[\begin{array}{rll}
f(x)&=f(x)-f(a)&=(x-a)f'(\alpha) \\[.6em]
-f(x)&=f(b)-f(x)&=(b-x)f'(\beta) 
\enar\]

soit
\[f'(\alpha)=\dfrac{f(x)}{x-a} \ \text{ et }
f'(\beta)=\dfrac{-f(x)}{b-x}\]

puis, le même théorème des accroissements finis sur $[\alpha;\beta]$,
\[f'(\beta)-f'(\alpha)=(\beta-\alpha)f

soit
\[
f'(\beta)-f'(\alpha)
=-\dfrac{f(x)}{b-x}-\dfrac{f(x)}{x-a}
=-f(x)\lp\dfrac1{b-x}+\dfrac1{x-a}\right)
=(\beta-\alpha)f

Maintenant, comme $x\in]a;b[$, on a $b-x>0$, $x-a>0$, et plus $\alpha<\beta\iff \beta-\alpha>0$.
Enfin, comme $f, on trouve que, nécessairement, on doit avoir $f(x)\geqslant0$.
Ceci étant valable pour tout $x\in]a;b[$, et comme $f(a)=f(b)=0$, on a bien $f\geqslant0$ sur $[a;b]$.


Méthode 2: Rolle et sens de variation
Comme $f(a)=f(b)=0$, on peut penser au théorème de Rolle: il existe $c\in]a;b[$ tel que $f'(c)=0$.
Maintenant comme $f$ est deux fois dérivable, en particulier $f'$ est continue, et comme $f, on a les variations:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $a$ && $c$ && $b$ \\\hline
$f}(-.6,.6)(1.8,-.4)&0&&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]"/>

d'où le signe de $f'$ et les variations de $f$,
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $a$ && $c$ && $b$ \\\hline
$f'$& & $+$ &$0$&$-$& \\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&0&&&&0\\\hline 
\end{tabular}\]

Il apparaît donc clairement que $f\geqslant0$.

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