@ccueil Colles

Somme avec racine n-ième de l'unité


Soit $\omega$ une racine n-ième de l'unité différente de 1. On pose $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$
  1. En calculant $(1-\omega)S$, déterminer la valeur de $S$.
  2. À l'aide de la fonction $F$ définie par $\displaystyle F(x)=\sum_{k=0}^{n-1}x^{k+1}$, retrouver la valeur de $S$.

Correction
Soit $\omega$ une racine n-ième de l'unité différente de 1. On pose $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$
  1. On a $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0$, donc $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}k\omega^k$.
    Par ailleurs, avec un changement d'indice, $\dsp\omega S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^{k+1}=\sum_{k=1}^nk\omega^k$,
    d'où $(1-\omega)S=-n\omega^n=-n$, et donc $S=-\dfrac{n}{1-\omega}$.
  2. On a $\displaystyle F'(x)=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)x^k$ et on voit donc que $F'(\omega)=S$.
    Or, pour $x\not=1$, $F(x)=x\dfrac{1-x^n}{1-x}$, d'où $F'(x)=\dfrac{1-x^n}{1-x}+x\dfrac{-nx^{n-1}(1-x)+(1-x^n)}{(1-x)^2}$.
    Comme $\omega^n=1$, on obtient alors $S=F'(\omega)=0+\omega\dfrac{-n\omega^{n-1}(1-\omega)+0}{(1-\omega)^2}
  =-\dfrac{n}{1-\omega}$.

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