Somme de 2 lois de Poisson


Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$.
Démontrer que $Z=X+Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.

Correction
On cherche à déterminer la loi de probabilité de $Z=X+Y$, c'est-à-dire les probabilités $P\left( Z=k\rp$ pour tout entier $k$.
L'événement $Z=k$ est la réunion disjointe des événements $X=l$ et $Y=k-l$ pour $0\leqslant l\leqslant k$.
On a donc, par indépendance des variables aléatoires,
\[\begin{array}{lcl} P(Z=k)&=&\dsp\sum_{l=0}^k P\Bigl(\left( X=l\rp\cap\left( Y=k-l\rp\Bigr)\\[1.2em] &=&\dsp\sum_{l=0}^k P(X=l)\,P(Y=k-l)\\[1.2em] &=&\dsp\sum_{l=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}\\[1.2em] &=&e^{-(\lambda+\mu)}\dsp\sum_{l=0}^k \dfrac1{l!(k-l)!}\lambda^l\mu^{k-l} \enar\]

On voit alors apparaître la formule du binôme de Newton de
\[(\lambda+\mu)^k=\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\]

avec les coefficients binomiaux
\[\binom kl=\dfrac{k!}{l!(k-l)!}\]

et on a donc alors
\[\begin{array}{lcl}P(Z=k)= &=&\dsp\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k\enar\]

ce qui montre que la variable aléatoire $Z=X+Y$ suit bien une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.

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Tag:Variables aléatoires discrètes

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