@ccueil Colles

Somme des entiers


Montrer par récurrence que $\dsp\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
En calculant la différence $(k+1)^2-k^2$, trouver une démonstration directe de ce résultat.

Correction
Par récurrence sur $n\in\N^*$:
Pour $n=1$, $\dsp\sum_{k=1}^1 k=1$ et $\dfrac{n(n+1)}{2}=1$, ce qui montre que la formule est vraie initialement au rang $n=1$.


Supposons maintenant que la formule est vraie à un rang quelconque $n\in\N^*$, c'est-à-dire que $\dsp\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

On a alors, au rang $n+1$ suivant:
\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=1}^{n+1} k
&=\dsp\sum_{k=1}^n k+(n+1)\\[.6em]
&=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\[.6em]
&=\dfrac{(n+1)}{2}\left( n+2\right)
\enar\]

et la formule est donc encore vraie.

On a donc montré, grâce au principe de récurrence, que pour tout entier non nul $n$, $\dsp\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}$.


Autre démonstration: on remarque que $(k+1)^2-k^2=2k+1$, et donc, $k=\dfrac12\lp(k+1)^2-k^2\rp-\dfrac12$, d'où
\[\begin{array}{ll}
\dsp\sum_{k=1}^nk
&=\dfrac12\lp\sum_{k=1}^n(k+1)^2-\sum_{k=1}^nk^2\rp-\dfrac12\sum_{k=1}^n1 \\[1.2em]
&=\dfrac12\lp\sum_{k=2}^{n+1}k^2-\sum_{k=1}^nk^2\rp-\dfrac{n}{2} \\[1.2em]
&=\dfrac12\lp(n+1)^2-1^2\rp-\dfrac{n}{2}\\[1.2em]
&=\dfrac12\left( n^2+n \rp\\[1em]
&=\dfrac{n(n+1)}{2}
\enar\]

ce qui montre directement la formule pour tout entier non nul $n$.

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