@ccueil Colles

Somme directe des espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétiques, et diagonalisation d'une application


On considère l'application: $\phi\la\begin{array}{cll}\mathcal{M}_n(\R)&\to&\mathcal{M}_n(\R)\\[.4em]
  A&\mapsto& A-A^T\enar\right.$ On note de plus $\mathcal{S}_n(\R)$ et $\mathcal{A}_n(\R)$ les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques.
  1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\R)$.
  2. Déterminer $\text{Ker}(\phi)$ et montrer que $\text{Im}(\phi)=\mathcal{A}_n(\R)$.
  3. Montrer que $\mathcal{M}_n(\R)=\mathcal{A}_n(\R)\oplus\mathcal{S}_n(\R)$.
  4. Montrer que les seules valeurs propres de $\phi$ sont 0 et 2.
  5. Montrer que $\phi$ est diagonalisable.


Correction


Tags:MatricesDiagonalisation

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