@ccueil Colles

Somme directe des noyau et image d'endomorphismes définis par compositions circulaires


Soit $f$, $g$ et $h$ trois endomorphismes d'un même espace vectoriel $E$ tels que $f\circ g=h$, $g\circ h=f$ et $h\circ f=g$. On note $f^n=f\circ f\circ\dots\circ f$.
Montrer que $f^2=g^2=h^2$ puis que $g^5=g$.
Prouvez alors que $E=\text{Ker}(g)\oplus\text{Im}(g)$.

Correction
On a
\[\begin{array}{ll}
f^2&=f\circ f\\
&=\left( g\circ h\rp\circ f\\
&=g\circ\left( h\circ f\rp\\
&=g\circ g=g^2
\enar\]

En permuttant circulairement, on a de même $g^2=h^2$ et donc $f^2=g^2=h^2$.

On a alors
\[\begin{array}{ll}
g^5&=g^3\circ g^2\\
&=g^3\circ h^2\\
&=g^2\circ\left( g\circ h\rp\circ h\\
&=g^2\circ f\circ h\\
&=h^2\circ f\circ h\\
&=h\circ\left( h\circ f\rp\circ h\\
&=h\circ g\circ h\\
&=h\circ f\\
&=g
\enar\]



D'après la relation précédente, on a pour tout $x\in E$, $g(x)=g^5(x)$ soit $g(x)-g^5(x)=g\bigr(x-g^4(x)\bigl)=0$, c'est-à-dire que pour tout $x\in E$, $x-g^4(x)\in\text{Ker}(g)$.
Ceci nous incite à regarder la décomposition de tout vecteur $x$ selon $x=\left( x-g^4(x)\rp+g^4(x)=y+z$, où comme on l'a vu (et fait exprès) $y=x-g^4(x)\in\text{Ker}(g)$ et $z=g^4(x)=g\bigl(g^3(x)\bigr)\in\text{Im}(g)$.
Cette décomposition montre donc que $E=\text{Ker}(g)+\text{Im}(g)$.

De plus, soit $x\in\text{Ker}(g)\cap\text{Im}(g)$, alors d'une part $g(x)=0$, et d'autre part, il existe $y\in E$ tel que $x=g(y)$, donc aussi $g^4(x)=g^5(y)=g(y)=x$ or $g^4(x)=g^3\bigl(g(x)\bigr)=g^3(0)=0$ et donc $x=0$ d'où $\text{Ker}(g)\cap\text{Im}(g)=\bigl\{0\bigr\}$ et donc la somme est directe:
\[E=\text{Ker}(g)\oplus\text{Im}(g)\]




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