Sous-espaces vectoriels

Déterminer lesquels des ensembles

sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$ :

Correction

est un sous-espace vectoriel: $(0,0,0)\in E_1$ , et si $u(x,y,z)\in E_1$ et $v(x',y',z')\in E_1$ et $\lambda\in\R$ , donc et et alors avec

$(x+x')+2(y+y')=\left( x+2y\rp+\left( x'+2y'\rp =z+z'$

et donc $u+v\in E_1$ . De même, $(\lambda u)(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ avec

$\lambda x+2(\lambda y) =\lambda(x+2y) =\lambda z$

et donc $\lambda u\in E_1$ . Ainsi, est un sous-espace vectoriel de $\R^3$ .
n'est pas un espace vectoriel. Il suffit de trouver un contre exemple, par exemple $u(1,0,0)\in E_2$ , mais $(2u)(2,0,0)\notin E_2$ .
De même, n'est pas un espace vectoriel. Il suffit de trouver un contre exemple, par exemple $u(0,1,1)\in E_3$ et $v(1,1,-1)\in E_3$ , mais tel que $w(1,2,0)\notin E_3$ .

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