Sous-espaces vectoriels


Déterminer lesquels des ensembles $E_1$, $E_2$ et $E_3$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$:
  1. $E_1=\left\{ (x;y;z)\in\R^3 \ /\ x+2y=z\right\}$
  2. $E_2=\left\{ (x;y;z)\in\R^3 \ /\ x^2+y^2+z^2=1\right\}$
  3. $E_3=\left\{ (x;y;z)\in\R^3 \ /\ x(y+z)=0\right\}$

Correction
  1. $E_1$ est un sous-espace vectoriel: $(0,0,0)\in E_1$, et si $u(x,y,z)\in E_1$ et $v(x',y',z')\in E_1$ et $\lambda\in\R$, donc $x+2y=z$ et $x'+2y'=z'$ et alors $(u+v)(x+x',y+y',z+z')$ avec
    \[(x+x')+2(y+y')=\left( x+2y\rp+\left( x'+2y'\rp =z+z'\]

    et donc $u+v\in E_1$. De même, $(\lambda u)(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ avec
    \[\lambda x+2(\lambda y) =\lambda(x+2y) =\lambda z\]

    et donc $\lambda u\in E_1$. Ainsi, $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$.
  2. $E_2$ n'est pas un espace vectoriel. Il suffit de trouver un contre exemple, par exemple $u(1,0,0)\in E_2$, mais $(2u)(2,0,0)\notin E_2$.
  3. De même, $E_3$ n'est pas un espace vectoriel. Il suffit de trouver un contre exemple, par exemple $u(0,1,1)\in E_3$ et $v(1,1,-1)\in E_3$, mais $w=u+v$ tel que $w(1,2,0)\notin E_3$.



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