Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Soit

les ensembles $F=\left\{ (a;a;a)\in\R^3, a\in\R\right\}$ et $G=\left\{ (b+c;b;c)\in\R^3, b\in\R,c\in\R\right\}$ .

Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$ .
Déterminer $F\cap G$ .
et sont-ils supplémentaires ?

Correction
Soit

les ensembles $F=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} (a;a;a)\in\R^3, a\in\R\ra$ et $G=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} (b+c;b;c)\in\R^3, b\in\R,c\in\R\ra$ .

Si et $V\left( a';a';a'\rp$ alors $(\alpha V+\beta V')(z;z;z)$ avec $z=\alpha a+\beta a'\in\R$ , c'est-à-dire $(\alpha V+\beta V')\in F$ .
De même, si et alors $(\alpha V+\beta V')(x;y;z)$ avec $y=\alpha b+\beta b'$ et $z=\alpha c+\beta c'$ et $x=\alpha (b+c)+\beta(b'+c')=y+z$ .
Soit $V\in F\cap G$ , donc et , ainsi et $F\cap G=\emptyset$ .
On peut raisonner avec des bases de et : est une base de , et $\left( e_2(1;1;0);e_3(1;0;1)\rp$ en est une pour .

On remarque (et montre) que est une base de $\R^3$ , ce qui montre que et sont supplémentaires.

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Tag:Espace vectoriel

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