Suite d'intégrales et convergence de la série harmonique alternée


Pour $n\in\N$, on définit $\displaystyle I_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx$.
  1. Montrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
  2. Pour $n\geqslant0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
  3. En déduire $\dsp\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k+1}$

Correction
Pour $n\in\N$, on définit $\displaystyle I_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx$.
  1. Pour $x\geqslant0$, on a $1+x\geqslant1$ et donc $0\leqslant\dfrac{x^n}{1+x}\leqslant x^n$, et alors
    \[0\leqslant I_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx \leqslant \int_0^1x^n\,dx=\dfrac{1}{n+1}\]


    On obtient alors, par le théorème des gendarmes, $\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n=0$.
  2. Pour $n\geqslant0$, par linéarité, on a
    \[\begin{array}{ll} I_n+I_{n+1}&\dsp=\int_0^1\dfrac{x^n+x^{n+1}}{1+x}\,dx \\[.8em] &\dsp=\int_0^1 \dfrac{x^n(1+x)}{1+x}\,dx \\[.8em] &\dsp=\int_0^1 x^n\,dx =\dfrac{1}{n+1} \enar\]

  3. Soit $S_n=\dsp\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k+1}$, donc d'après ce qui précède, $S_n=\dsp\sum_{k=0}^n (-1)^k\left( I_k+I_{k+1}\rp$, soit en détaillant,
    \[ S_n=\left( I_0+I_1\rp-\left( I_1+I_2\rp+\left( I_2+I_3\rp +\dots+(-1)^n\left( I_n+I_{n+1}\right) \]

    et donc, après simplification
    \[S_n=I_0+(-1)^nI_{n+1}\]

    Comme $(I_n)$ tend vers 0, on en déduit que $S_n$ tend vers $I_0=\dsp\int_0^1\dfrac{1}{1+x}\,dx=\Bigl[\ln(1+x)\Bigr]_0^1=\ln2$


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