@ccueil Colles

Suite et série télescopique


Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs décroissante et tendant vers 0. Soit $(v_n)$ la suite définie par

\[v_n=\lp\sum_{k=1}^nu_k\rp-nu_n\]
  1. On suppose dans cette question que la série de terme général $u_n$ converge. Montrer que $(v_n)$ est bornée.
  2. On suppose dans cette question que la suite $(v_n)$ est bornée.
    1. Calculer $v_n-v_{n-1}$
    2. Montrer que la suite $(v_n)$ converge.
    3. Montrer que la série de terme général $(n-1)(u_{n-1}-u_n)$ converge.
    4. Montrer que
      \[\sum_{k=n+1}^\infty(k-1)(u_{k-1}-u_k)\geqslant nu_n\]

    5. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.

Correction


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