@ccueil Colles

Suite et série télescopique


Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs décroissante et tendant vers 0. Soit $(v_n)$ la suite définie par

\[v_n=\lp\sum_{k=1}^nu_k\rp-nu_n\]
  1. On suppose dans cette question que la série de terme général $u_n$ converge. Montrer que $(v_n)$ est bornée.
  2. On suppose dans cette question que la suite $(v_n)$ est bornée.
    1. Calculer $v_n-v_{n-1}$
    2. Montrer que la suite $(v_n)$ converge.
    3. Montrer que la série de terme général $(n-1)(u_{n-1}-u_n)$ converge.
    4. Montrer que
      \[\sum_{k=n+1}^\infty(k-1)(u_{k-1}-u_k)\geqslant nu_n\]

    5. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.

Correction
  1. On a
    \[\begin{array}{ll}[v_n|&\leqslant\left|\dsp\sum_{k=1}^nu_k\right|+\left|nu_n\right|\\[1.5em]
&=\dsp\sum_{k=1}^nu_k+nu_n\enar\]


    d'après l'inégalité triangulaire et comme tous les termes $u_k$ sont positifs.
    La somme est bornée car la série de terme général $u_n$ est supposée convergente.
    De plus, comme cette série est convergente et que les termes sont positifs, on peut penser que $u_n$ est au moins de l'ordre de $\dfrac1n$ (par comparaison avec les séries de Riemann).
    Plus précisément ici on a, comme la suite est décroissante
    \[u_n\leqslant u_{n-1}\leqslant\dots\leqslant u_2\leqslant u_1\]

    et donc
    \[\la\begin{array}{ll}u_n&\leqslant u_n\\
u_n&\leqslant u_{n-1}\\
    u_n&\leqslant u_{n-2}\\
    \dots \\
    u_n&\leqslant u_2\\
    u_n&\leqslant u_1\enar\right.\]

    d'où, en somme terme à terme toutes ces inégalités,
    \[nu_n\leqslant\sum_{k=1}^nu_k\]

    qui est borné car la série est supposée convergente.
    Ainsi, $|v_n|$ est majorée, et $(v_n)$ est donc bornée.

    1. \[\begin{array}{ll}v_n-v_{n-1}&=u_n-nu_n+(n-1)u_{n-1}\\[.4em]
    &=(n-1)(u_{n-1}-u_n)\enar\]

    2. Comme $(u_n)$ est une suite décroissance, on a donc que $u_{n-1}\geqslant u_n\iff u_{n-1}-u_n\geqslant0$ et donc que $v_n-v_{n-1}\geqslant0$ d'où la suite $(v_n)$ est croissante.
      Comme on a de plus supposé qu'elle était bornée, on en déduit qu'elle est convergente.
    3. On a, d'après ce qui précède,
      \[\sum_{k=2}^n(k-1)(u_{k-1}-u_k)=\sum_{k=2}^n\left( v_k-v_{k-1}\right)
    =v_n-v_1\]

      Or on vient de montrer que $(v_n)$ est convergente, et il en va donc de même de la série de terme général $(n-1)(u_{n-1}-u_n)$.
    4. Soit un entier $N\geqslant n+1$, alors comme
      \[(k-1)(u_{k-1}-u_k)=v_k-v_{k-1}\]

      on a une somme télescopique:
      \[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=n+1}^\infty(k-1)(u_{k-1}-u_k)&=\dsp\sum_{k=n+1}^N v_k-v_{k-1}\\[1.3em]
    &=-v_n+v_N
    \enar\]

      puis, en revenant à la définition de $v_n$,
      \[\sum_{k=n+1}^N(k-1)(u_{k-1}-u_k)
    =nu_n+\sum_{k=n+1}^Nu_k-Nu_N\]

      Or, la suite $(u_n)$ est décroissante et donc, comme à la question 1.,
      \[\sum_{k=n+1}^Nu_k\geqslant(N-n)u_N\]

      d'où
      \[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=n+1}^\infty(k-1)(u_{k-1}-u_k)&\geqslant nu_n+(N-n)u_N-Nu_N\\[1.3em]
    &=nu_n-nu_N\enar\]

      Maintenant, $n$ est un entier fixé, et en faisant tendre $N\to+\infty$, comme $(u_n)$ a une limite nulle, on obtient bien
      \[\sum_{k=n+1}^\infty(k-1)(u_{k-1}-u_k)\geqslant nu_n\]

    5. D'après les résultats précédents, on a montré que la série de terme général $(k-1)(u_{k-1}-u_k)$ est convergente, donc son reste

      \[\sum_{k=n+1}^\infty(k-1)(u_{k-1}-u_k)\]
      tend vers 0 lorsque $n\to+\infty$.
      On a alors, comme $u_n$ est positif et d'après le théorème des gendarmes, que
      \[nu_n\to0\]

      ou, en d'autres termes
      \[u_n=o\lp\dfrac1n\rp\]

      Par comparaison avec les séries de Riemann, on en déduit que la série de terme général $u_n$ converge.


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