Suite homographique avec un paramètre


Soit $a\in\R_+^*\setminus\la2\ra$. On définit $(u_n)$ par $u_0>0$, puis, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{au_n+2}{2u_n+a}$
  1. Montrer que $u_n$ est défini pour tout $n$ et que $u_n>0$.
  2. On pose, pour tout $n$, $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}$.
    Trouver une relation entre $v_{n+1}$ et $v_n$, et en déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, $a$ et $u_0$.
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Correction
  1. Par une récurrence immédiate, comme $a>0$, si $u_n>0$ on a alors $u_{n+1}>0$.
    Or $u_0>0$, et donc pour tout entier $n$, $u_n>0$.
    En particulier, on a aussi $2u_n+a>0$ ce qui montre que $u_n$ est bien toujours défini.
  2. Pour tout entier $n$, on a
    \[\begin{array}{ll} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} =\dfrac{\dfrac{au_n+2}{2u_n+a}-1}{\dfrac{au_n+2}{2u_n+a}+1}\\[2.5em] &=\dfrac{(a-2)u_n+2-a}{(a+2)u_n+2+a}\\[1.6em] &=\dfrac{a-2}{a+2}\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\\[1.6em] &=\dfrac{a-2}{a+2}v_n \enar\]

    ce qui montre que $\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $\dfrac{a-2}{a+2}$.
  3. On a alors
    \[\begin{array}{ll} v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1} &\iff v_n\left( u_n+1\rp=u_n-1 \\[.8em] &\iff u_n\left( v_n-1\rp=-1-v_n\\[.8em] &\iff u_n=\dfrac{-1-v_n}{v_n-1}=\dfrac{1+v_n}{1-v_n} \enar\]

    soit, avec $v_n=v_0q^n$, avec $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+1}$ et $q=\dfrac{a-2}{a+2}$, $u_n=\dfrac{1+v_0q^n}{1-v_0q^n}$.


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