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Suite implicite définie par une intégrale impropre


Soit $H$ définie par:
\[H(x)=\int_x^{+\infty}\dfrac{e^{-t^2}}{2(1+t)}dt\]

et $\left( x_n\rp$ la suite définie par $x_0=1$ et $x_{n+1}=H\left( x_n\rp$.
  1. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $H(x)$ est convergente.
  2. Étudier les variations de $H$ sur $]0;+\infty[$. Préciser la limite en $+\infty$.
  3. Prouver que $x_n\in\R_+^*$ pour tour entier $n$.
  4. Montrer qu'il existe un unique $\alpha>0$ tel que $H(\alpha)=\alpha$.
  5. Montrer que, pour tout entier $n$, $\left|x_{n+1}-\alpha\right|\leqslant\left|x_n-\alpha\right|$.
  6. En déduire que $\left( x_n\rp$ converge.

Correction


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