@ccueil Colles

Suite récurrente définie par une fonction - Inégalité des accroissements finis


On considère la suite $\left( u_n\rp$ définie par $u_0\in\lb0,\frac43\rb$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=\dfrac13\lp4-u_n^2\rp$.
Justifier que $\forall n\in\N$, $u_n\in\left[ 0,\frac43\rb$.
A l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que $\left( u_n\rp$ converge vers 1.

Correction
Soit $f(x)=\dfrac13\lp4-x^2\rp$ et $I=\lb0;\frac43\rb$, de telle que sorte que $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$.
$f$ est dérivable sur $\R$ avec $f'(x)=-\dfrac23x\leqslant0$ sur $I$. Ainsi $f$ est décroissante sur $I$, et comme $f(0)=\dfrac43$ et $f\lp\dfrac43\rp=\dfrac{20}{27}>0$ on a $f\left( I\rp=\lb\dfrac{20}{27};\dfrac43\rb\subset I$, et $I$ est donc stable par $f$.
Ainsi, si $u_0\in I$, $u_1=f\left( u_0\rp\in I$, puis par une récurrence immédiate, pour tout entier $n$, $u_n\in I$.


On veut montrer la convergence de $\left( u_n\rp$ vers 1, donc majorer $\left|u_n-1\right|$, ou encore, comme $f(1)=1$, $\left|f\left( u_n\rp-f(1)\right|$, d'où l'idée d'utiliser l'inégalité des accroissements finis sur l'intervalle $\left[ u_n,1\rb\subset I$ ou $\left[1,u_n\rb\subset I$.

$f$ est continue et dérivable sur $I$, et pour tout $x\in I$, on a $\left|f'(x)\right|=\dfrac23x\leqslant \dfrac89$.
L'inégalité des accroissements finis avec $a=u_n$ et $b=1$ donne alors
\[\left|f\left( u_n\right) -f(1)\right|=\left|u_{n+1}-1\right|\leqslant\dfrac89\left|u_n-1\right|\]

Par une récurrence immédiate, on trouve alors
\[\left|u_n-1\left|\leqslant\lp\dfrac89\rp^n\left|u_0-1\right|\]

et comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac89\rp^n=0$, on en déduit que $\left( u_n\rp$ converge bien vers 1.

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