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Suites récurrentes couplées


Soit $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_0=1$, $b_0=2$, $c_0=7$, et vérifiant les relations de récurrence : $\la\begin{array}{rcl} a_{n+1}&=&3a_n+b_n\\ b_{n+1}&=&3b_n+c_n\\ c_{n+1}&=&3c_n \enar\right.$
  1. On considère le vecteur colonne $X_n=\lp\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\enar\rp$. Trouver une matrice $A$ telle que $X_{n+1}=AX_n$.
  2. Soit $N=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp$. Calculer $N^2$, $N^3$, puis $N^p$ pour $p\geq 3$.
  3. Montrer que $\displaystyle A^n=3^{n}I+3^{n-1}nN+3^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}N^2$.
    En déduire $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.

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