Suites récurrentes couplées

Soit

trois suites réelles telles que

, et vérifiant les relations de récurrence : $\la\begin{array}{rcl} a_{n+1}&=&3a_n+b_n\\ b_{n+1}&=&3b_n+c_n\\ c_{n+1}&=&3c_n \enar\right.$

On considère le vecteur colonne $X_n=\lp\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\enar\rp$ . Trouver une matrice telle que $X_{n+1}=AX_n$ .
Soit $N=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp$ . Calculer , , puis pour $p\geq 3$ .
Montrer que $\displaystyle A^n=3^{n}I+3^{n-1}nN+3^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}N^2$ .
En déduire , et en fonction de .

Correction

Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}3&1&0\\0&3&1\\0&0&3\\\enar\rp$ , alors $X_{n+1}=AX_n$ .
On a : $N^2=\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\enar\rp$ , et $N^3=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\enar\rp$ .
Pour $p\geq 3$ , on a alors $N^p=N^3.N^{p-3}=0$ .
On a et, comme les matrices et commutent (), on peut utiliser le binôme de Newton qui fournit directement le résultat demandé.
On a donc $A^n=\lp\begin{array}{rcl} 3^n&3^{n-1}n&3^{n-2}\times \frac{n(n-1)}{2}\\ 0&3^n&3^{n-1}n\\ 0&0&3^n\\\enar\rp$ .
On obtient alors : $\la\begin{array}{ccc} a_n&=&3^n+2\times 3^{n-1}n+7\times 3^{n-2}\times \frac{n(n-1)}{2}\\ b_n&=&2\times 3^n+7\times 3^{n-1}n\\ c_n&=&7\times 3^n. \enar\right.$

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