@ccueil Colles

Suites récurrentes couplées


Déterminer l'expression, en fonction de $n$, des termes généraux $u_n$ et $v_n$ des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par

\[\la\begin{array}{ll} 
u_{n+1}=2u_n-v_n\\[.6em]
v_{n+1}=-u_n+2v_n\enar\right.\]

avec $u_0=1$ et $v_0=2$.

Correction
On pose $A=\lp\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\enar\rp$ et $X_n=\lp\begin{array}{c}u_n\\v_n\enar\rp$, alors $X_{n+1}=\lp\begin{array}{c}u_{n+1}\\v_{n+1}\enar\rp$ et le système s'écrit $X_{n+1}=AX_n$.

La suite $\left( X_n\rp$ est alors géométrique et alors, pour tout entier $n$, $X_n=A^nX_0$.
Il reste donc à calculer les puissances de la matrice $A$.

On peut à cette fin diagonaliser $A$ (qui est une matrice symétrique réelle, donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de $A$ est
\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)&=\det(XI-A)=\left|\begin{array}{cc}X-2 & 1\\1 & X-2\enar\right| \\[1.2em]
&=(X-2)^2-1^2=(X-1)(X-3)\enar\]

Ainsi, $A$ admet deux valeurs propres 1 et 3.

Sous-espace propre associé à la valeur propre 1: $(I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}-x+y=0\\x-y=0\enar\right.
\iff x=y$. Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par $e_1\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$.

Sous-espace propre associé à la valeur propre 3: $(3I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}x+y=0\\x+y=0\enar\right.
\iff x=-y$. Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par $e_2\lp\begin{array}{c}1\\-1\enar\rp$.


On a alors $A=PDP^{-1}$ avec la matrice diagonale $D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3\enar\rp$ et la matrice de passage $P=\left( e_1 e_2\rp=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$ et son inverse $P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$.
On obtient alors,
\[\begin{array}{ll}
A^n&=\left( PDP^{-1}\rp^n \\[.5em]
&= PDP^{-1}\,PDP^{-1}\,\dots PDP^{-1}\\[.5em]
&=PD^nP^{-1} \\[.5em]
&=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) 
\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3^n\enar\right)
\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \\[1em]
&=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\right)
\enar\]


$X_n=A^nX_0$, avec $X_0=\lp\begin{array}{c}u_0\\v_0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$, et donc,
\[X_n=\lp\begin{array}{c}u_n\\v_n\enar\right)
=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\right)
\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp\]

soit donc finalement,
\[\la\begin{array}{ll}
u_n&=\dfrac12\left( 3-3^n\rp\\[1em]
v_n&=\dfrac12\left( 3+3^n\right)
\enar\right.\]



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