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Système d'équations aux dérivées partielles


Déterminer toutes les fonctions $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ solutions des systèmes suivants :
\[\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\partial f}{\partial x}&=&e^xy\\[3mm]
\dfrac{\partial f}{\partial y}&=&e^x+2y.
\end{array}\right.\]


Correction
La première relation nous donne
\[f(x,y)=ye^x+g(y)\]

où la fonction $g$ est quelconque (mais dérivable et d'une seule variable, ainsi $g(y)$ est une constante pour la variable $x$). Cette expression nous donne alors, dans la seconde relation,
\[\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^x+g'(y)=e^x+2y\]

ce qui nous donne donc
\[g'(y)=2y\iff g(y)=y^2+k\]

$k$ est un nombre réel quelconque. Ainsi, on a trouvé que si uen fonction vérifie le système donné, alors
\[f(x,y)=ye^x+y^2+k\]

Réciproquement, on vérifie bien que ces fonctions conviennent, et donc qu'on a bien là toutes les solutions.

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Tag:Fonctions de plusieurs variables

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