@ccueil Colles

Tangente à un cercle passant par un point et calcul de distance


On considère, dans un repère orthonormal du plan, le point $A(-2;0)$ et le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(2;2)$ et de rayon $\sqrt2$.
On note $\Delta$ une droite passant par $A$ et tangente à $\mathcal{C}$ en $T$.
Déterminer les coordonnées du point $T$ et la distance $AT$.

Correction
Soit $T(x;y)$. On a $\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=0$ et $\Omega T=\sqrt2$, soit
\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=(x+2)(x-2)+y(y-2)=0\\[.5em]
\Omega T^2=(x-2)^2+(y-2)^2=2
\enar\right.
\iff 
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
x^2+y^2-4x-4y+6=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff 
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
4x+2y-10=0  
\enar\right.\\[1.5em]
\iff 
\la\begin{array}{l}
x^2+(-2x+5)^2-2(-2x+5)-4=5x^2-16x+11=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]

$x=1$ est une racine évidente du trinôme, la 2ème racine étant alors $x=\dfrac{11}{5}$.
On trouve donc deux possibilités: $T(1;3)$ et $T\lp\dfrac{11}{5};\dfrac{3}{5}\rp$.

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Tag:Géométrie plane cartésienne

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