Tangente commune à une parabole et une hyperbole


Montrer que les courbes d'équations $y=x^2$ et $y=\dfrac{1}{x}$ admettent une tangente commune.

Correction
La tangente en $a$ de la courbe d'équation $y=x^2$ a pour équation $T_1:y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$, et celle en $b\not=0$ de la courbe d'équation $y=\dfrac{1}{x}$ a pour équation $T_2:y=-\dfrac{1}{b^2}(x-b)+\dfrac1b=-\dfrac{1}{b^2}x+\dfrac2b$.
Pour qu'une tangente soit commune, il faut et suffit donc que
\[\la\begin{array}{l} 2a=-\dfrac{1}{b^2}\\[.8em] -a^2=\dfrac2b\enar\right. \iff \la\begin{array}{l} a=-\dfrac{1}{2b^2}\\[.8em] -\dfrac{1}{4b^4}=\dfrac2b \iff-b=8b^4 \iff 8b^4+b=b(8b^3+1)=0 \enar\right. \]

On trouve ainsi $b=0$, ce qui est impossible, ou $b^3=-\dfrac18\iff b=-\dfrac12$ et donc $a=-\dfrac{1}{2b^2}=-2$.

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