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Théorème de Rolle - Énoncé et démonstration


Énoncer et démontrer le théorème de Rolle.

Correction
Théorème: Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ et dérivable sur $]a;b[$, et telle que $f(a)=f(b)$, alors il existe $c\in]a;b[$ tel que $f'(c)=0$.

\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,4)
\psline{->}(-1,0)(6,0)
\psline{->}(0,-.6)(0,4)
\pscurve[linewidth=1.3pt](.5,1.5)(.8,1.6)(2,3.5)(3,1)(4,1)(5,1.5)
\psline{<->}(1,3.51)(3,3.51)
\psline{<->}(2.3,.88)(4.7,.88)
\psline[linestyle=dashed](.5,0)(.5,1.5)(0,1.5)(5,1.5)(5,0)
\rput[r](-.2,1.5){$f(a)=f(b)$}
\rput(.5,-.3){$a$}
\rput(5,-.3){$b$}
\end{pspicture}\]


Démonstration:
La démonstration peut être vue comme une conséquence de la propriété des fonctions continues: si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes. Par exemple en $c$ $f$ atteint un maximum ou un minimum et donc $c$ est un point critique c'est-à-dire $f'(c)=0$.
Le seul point qui reste à vérifie est que $c\in]a;b[$, c'est-à-dire que $c\not=a$ et $c\not=b$. Ceci est en effet le cas lorsque $f$ n'est pas constante.

Plus précisément, si $f$ est constante sur $[a;b]$, alors pour tout $x\in[a;b]$, on a $f'(x)=0$, et le théorème est clairement vérifié.

Sinon, comme $f$ est continue sur $[a;b]$, $f$ y est bornée, et on pose $m=\dsp\inf_{x\in[a;b]} f(x)$ et $M=\dsp\sup_{x\in[a;b]}f(x)$. Comme $f$ n'est pas constante, on a $m<M$, et soit $m<f(a)=f(b)$ soit $f(a)=f(b)<M$.
Dans le premier cas par exemple, il existe donc $c\in]a;b[$ tel que $f(c)=m$ et en ce point critique $f'(c)=0$.
Le raisonnement est analogue dans le deuxième cas.

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