@ccueil Colles

Théorème de Rolle - Un contre exemple ?


Soit $f(x)=(x-1)^{-2}$.
Montrer qu'il n'existe pas de solution à l'équation $f'(x)=0$.
Vérifier que $f(0)=f(2)$ et préciser pourquoi cela ne contredit pas le théorème de Rolle.

Correction
On a, pour $x\not=1$, $f'(x)=-2(x-1)^{-3}=\dfrac{-2}{(x-1)^3}$ et donc, en particulier, $f'(x)\not=0$ pour tout $x\not=1$ et $f'$ (ni $f$) n'est définie en $x=1$.
Ainsi, il n'existe pas de de solution à l'équation $f'(x)=0$.

Cela ne contredit pas pour autant le théorème de Rolle car $f$ n'est pas continue (ni dérivable) sur $[0;2]$.

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