Théorème du rang et démonstration
Énoncer et démontrer le théorème du rang pour une application linéaire entre deux espaces et de dimensions finies.
Correction
Soit une application linéaire, alors le théorème du rang énonce que
Soit une base du noyau et une base de l'image, c'est-à-dire que pour tout on a .
Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille
est une base de , c'est-à-dire est une famille génératrice et libre.
Cette famille est libre. En effet, si
alors, en appliquant , qui est linéaire, on obtient
or , …, appartiennent au noyau de , d'où on doit avoir
mais comme on est une base de l'image, en particulier cette famille est libre et on a donc nécessairement
Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison
on doit donc avoir maintenant
mais comme est une base du noyau, donc en particulier est libre, on doit cette fois avoir nécessairement
Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille est donc libre.
Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque , et en décomposant dans la base de l'image
Maintenant
appartient au noyau de et on peut donc écrire, sur la base du noyau
soit
qui montre donc qu'un élément quelconque se décompose sur la famille qui est donc aussi génératrice.
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Soit une application linéaire, alors le théorème du rang énonce que
Soit une base du noyau et une base de l'image, c'est-à-dire que pour tout on a .
Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille
est une base de , c'est-à-dire est une famille génératrice et libre.
Cette famille est libre. En effet, si
alors, en appliquant , qui est linéaire, on obtient
or , …, appartiennent au noyau de , d'où on doit avoir
mais comme on est une base de l'image, en particulier cette famille est libre et on a donc nécessairement
Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison
on doit donc avoir maintenant
mais comme est une base du noyau, donc en particulier est libre, on doit cette fois avoir nécessairement
Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille est donc libre.
Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque , et en décomposant dans la base de l'image
Maintenant
appartient au noyau de et on peut donc écrire, sur la base du noyau
soit
qui montre donc qu'un élément quelconque se décompose sur la famille qui est donc aussi génératrice.
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Tag:Applications linéaires
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