Théorème du rang et démonstration


Énoncer et démontrer le théorème du rang pour une application linéaire entre deux espaces $E$ et $F$ de dimensions finies.

Correction
Soit $f:E\to F$ une application linéaire, alors le théorème du rang énonce que

\[\text{rg}(f)+\dim\lp\text{Ker}(f)\rp=\dim(E)\]



Soit $\left( u_1, u_2, \dots , u_p\rp$ une base du noyau et $\left( v_1, v_2, \dots , v_q\rp$ une base de l'image, c'est-à-dire que pour tout $i$ on a $v_i=f\left( w_i\rp$.
Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille

\[\mathcal{F}=\left( u_1, u_2, \dots, u_p, w_1, w_2, \dots, w_q\rp\]

est une base de $E$, c'est-à-dire est une famille génératrice et libre.

Cette famille est libre. En effet, si
\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]

alors, en appliquant $f$, qui est linéaire, on obtient
\[a_1f\left( u_1\rp+\dots+a_pf\left( u_p\rp+b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\]

or $u_1$, …, $u_p$ appartiennent au noyau de $f$, d'où on doit avoir
\[\begin{array}{ll}&b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\\[.5em]
\iff&b_1v_1+\dots+b_qv_q=0\enar\]

mais comme on $\left( v_1, \dots v_2\rp$ est une base de l'image, en particulier cette famille est libre et on a donc nécessairement
\[b_1=\dots=b_q=0\]

Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison
\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]

on doit donc avoir maintenant
\[a_1u_1+\dots+a_pu_p=0\]

mais comme $\left( u_1, \dots , u_p\rp$ est une base du noyau, donc en particulier est libre, on doit cette fois avoir nécessairement
\[a_1=\dots=a_p=0\]

Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille $\mathcal{F}$ est donc libre.


Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque $x\in E$ , et en décomposant dans la base de l'image
\[\begin{array}{ll}f(x)&=\alpha_1 v_1+\dots +\alpha_q v_q\\[.5em]
&=\alpha_1 f(w_1)+\dots +\alpha_q f(w_q)\enar\]

Maintenant
\[y=x-\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\]

appartient au noyau de $f$ et on peut donc écrire, sur la base du noyau
\[y=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p\]

soit
\[\begin{array}{ll}x&=y+\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\\[.5em]
&=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p+\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\enar\]

qui montre donc qu'un élément $x\in E$ quelconque se décompose sur la famille $\mathcal{F}$ qui est donc aussi génératrice.

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