Trinôme composé avec arcsin


  1. Soit $u:x\mapsto 3x-4x^3$.
    Montrer que, pour tout $x\in[-1;1]$, $-1\leqslant u(x)\leqslant1$.
  2. Étudier la fonction $f$ définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\arcsin\lp3x-4x^3\rp$.
    Exprimer $f(x)$ en fonction de $\arcsin x$.

Correction

  1. \[u'(x)=3-12x^2=3(1-4x^2)=3(1-2x)(1+2x)\]


    $u'(x)$ est donc un trinôme du second degré de racines $-\dfrac12$ et $\dfrac12$ et donc,
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-1$ && $-\frac12$ && $\frac12$ && 1 \\\hline $u'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$ & \\\hline &1&&&&1&&\\ $u$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&& \Large{$\searrow$}&\\ &&&$-1$&&&&$-1$\\\hline \end{tabular}\]


    On en déduit donc bien que, pour tout $x\in[-1;1]$, $-1\leqslant u(x)\leqslant1$.
  2. $f$ est donc bien définie sur $[-1;1]$, et
    \[f'(x)=\lp3-12x^2\rp\dfrac{1}{\sqrt{1-\lp3x-4x^2\rp^2}}\]


    $f$ a donc le même sens de variation que $u$.


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