Trinôme composé avec arcsin

Soit $u:x\mapsto 3x-4x^3$ .
Montrer que, pour tout $x\in[-1;1]$ , $-1\leqslant u(x)\leqslant1$ .
Étudier la fonction définie sur par $f(x)=\arcsin\lp3x-4x^3\rp$ .
Exprimer en fonction de $\arcsin x$ .

Correction

$u'(x)=3-12x^2=3(1-4x^2)=3(1-2x)(1+2x)$

est donc un trinôme du second degré de racines $-\dfrac12$ et $\dfrac12$ et donc,

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-1$ && $-\frac12$ && $\frac12$ && 1 \\\hline $u'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$ & \\\hline &1&&&&1&&\\ $u$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&& \Large{$\searrow$}&\\ &&&$-1$&&&&$-1$\\\hline \end{tabular}$

On en déduit donc bien que, pour tout $x\in[-1;1]$ , $-1\leqslant u(x)\leqslant1$ .
est donc bien définie sur , et

$f'(x)=\lp3-12x^2\rp\dfrac{1}{\sqrt{1-\lp3x-4x^2\rp^2}}$

a donc le même sens de variation que .

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