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Sujets de colles - Corrigés

AllDérivéeRolle - AFComplexesPolynômeIntégraleÉquation différentielleSuitesRécurrenceSommesSériesSéries entièresLimiteÉquivalentsDLEspace vectorielApplications linéairesProjecteursMatricesDéterminantsDiagonalisationEspaces euclidiensGéométrie plane cartésienneCourbes paramétréesGéométrie dans l'espaceSérie de FourierProbabilités conditionnelles - indépendanceVariables aléatoires discrètesVariables aléatoires continues

Exercices corrigés de colles (ou khôlles) de mathématiques, donnés en prépa ATS et BL.
Ces exercices peuvent tout aussi intéresser des élèves d'autres filières, TSI, PCSI, PTSI, MPSI, …
Ces exercices ne sont pas forcément originaux, ce n'est pas d'ailleurs pas le but d'un sujet de colle, mais les corrections le sont.

La recherche/sélection d'exercices se fait par mot-clé, au début dans la liste ci-dessus. Ensuite chaque exercice a son propre lot de mots-clé, permettant de naviguer entre les exercices sur les notions abordées.

Nombre d'exercices:
Un exercice au hasard sur ces ?

Étude d'une fonction

Étude d'une fonction

Étude d'une primitive d'une fonction

Tangentes parallèles ou concourantes

Tangente commune à une parabole et une hyperbole

Simplification d'une fonction avec arctans

Continuité et dérivabilité d'une composée

Théorème de Rolle - Énoncé et démonstration

Théorème de Rolle - Un contre exemple ?

Égalité des accroissements finis - Énoncé et démonstration

Accroissements finis pour un trinôme du second degré - Interprétation géométrique

Variante du théorème des accroissements finis

Formule de Taylor-Young avec reste intégral - Énoncé et démonstration

Nombre de racines de la dérivée d'un polynôme

Inégalité des accroissements finis - Convergence d'une suite

Inégalité à démontrer

Nombre de racines d'un polynôme

Nombre de racines d'un polynôme (suivant la parité de son degré)

Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis

Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis

Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis

Signe d'une fonction dont la dérivée seconde est négative

Croissance bornée d' une fonction

Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle

Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle

Étude de fonction, bijection et réciproque

Fonction composée avec arcsin

Trinôme composé avec arcsin

Fonction composée avec arctan

Fonction composée avec radical, exponentielle et arcsin

Fonction avec sinus et cosinus hyperbolique

Fonction grandement simplifiable (avec fonctions trigonométriques réciproques)

Limite d'un quotient de differences

Existence d'une solution à une équation polynomiale

Égalité d'un polynôme et de l'exponentielle: finitude des solutions

Calculer l'intégrale …

Calculer l'intégrale …

Calculer l'intégrale …

Calculer l'intégrale …

Calculer l'intégrale …

Calculer l'intégrale …

Calculer l'intégrale …

Calcul d'intégrale avec changement de variable

Calcul d'intégrale avec changement de variable

Calcul d'intégrale avec changement de variable

Calcul d'intégrale avec changement de variable

Intégrale trigonométrique

Calculer l'intégrale trigonométrique avec changement de variable

Calculer l'intégrale

Nature de l'intégrale …

Nature de l'intégrale …

Nature de l'intégrale …

Nature de l'intégrale …

Nature de l'intégrale …

Nature de l'intégrale …

Nature de l'intégrale …

Intégrale impropre: convergence, calcul avec changement de variable

Intégrale impropre avec une fonction bornée et changement de variable

Intégrale impropre avec exponentielles, DL et changement de variable

Recherche de fonctions avec une propriété intégrale

Recherche de fonctions avec une propriété intégrale

Propriété de l'intégrale d'une fonction avec une symétrie

Démonstration d'une propriété intégrale

Recherche de fonctions avec une propriété intégrale

Équation de droite passant par deux points et intersection de droites

Intersection de courbes: cercle et droite

Équations paramétriques de droites et intersection

Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance à la droite

Équation de la tangente à un cercle passant par un point donné

Tangente à un cercle passant par un point et calcul de distance

Courbe paramétrée polynomiale

"Astroïde" trigonométrique

Courbe de Lissajous

Courbe paramétrée fractions rationnelles

Courbe paramétrée fractions rationnelles

Construction d'une base orthonormale directe

Équation de plan, projeté orthogonal et distance au plan

Équation d'un plan médiateur

Représentation paramétrique de droites et droite perpendiculaire à deux autres

Système d'équations cartésiennes d'une droite passant par deux points

Équation de cercle dans l'espace

Droites coplanaires, sécantes, …

Plans dans l'espace

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants

Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants, avec conditions initiales

Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants

Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants

Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants

Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants

Suite non bornée divergente ?

Variante du théorème de convergence monotone bornée

Somme géométrique

Suite arithmético-géométrique, somme des termes

Calcul d'une somme

Convergence d'une suite définie par un encadrement

Limite d'une racine n-ième

Somme et différence de suites arithmétique et géométrique

Divergence de la série harmonique

Expression explicite d'une suite récurrente

Somme des entiers

Somme des entiers impairs

Série alternée: récurrence et convergence

Suite récurrente définie par une fonction - Inégalité des accroissements finis

Convergence de la "demi somme harmonique" - Inégalité des accroissements finis

Calcul de limite avec équivalents

Dérivée d'une somme géométrique

Limite classique exponentielle

Parité des termes d'une suite et suite trigonométrique

Suite homographique avec un paramètre

Somme téléscopique avec une suite arithmétique

Convergence de deux suites dont le produit converge

Convergence de Série harmonique alternée

Convergence de la série exponentielle (avec une récurrence)

Convergence de la série exponentielle (avec des suites adjacentes)

Suite d'intégrales et convergence de la série harmonique alternée

Fonction et sommes composées avec arctan

Suite récurrente et fonction logarithme

Convergence de la suite de racines d'un polynôme

Suite implicite: racine d'une suite de fonctions

Convergence de sommes de type Riemann

Calcul le DL à l'ordre 3

Calcul de limite

Calcul de limite: composées de radicaux

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série

Étude de la convergence de la série avec un paramètre

Suite et série télescopique

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Rayon de convergence

Développement en série entière d'une fonction

Développement en série entière d'une fonction

Développement en série entière d'une fonction

Développement en série entière d'une fonction

Développement en série entière d'une fonction

Développement en série entière d'une fonction

Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles

Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles

Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles

Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles

Expression d'une série entière à l'aide d'une équation différentielle

Série entière presque géométrique

Série entière presque géométrique

Série entière presque géométrique

Résolution d'une équation différentielle à l'aide d'un développement en série entière

Calcul de limite avec radical

Détermination d'une limite

Détermination d'une limite

Limite d'une fraction rationnelle en un pôle

Détermination d'une limite

Détermination d'une limite

Détermination d'une limite

Détermination d'une limite

Continuité d'une fonction

Démonstration des inégalités triangulaires

Une autre inégalité triangulaire

Caractériation complexe de l'égalité triangulaire

Puissance 11-ième d'un complexe

Quelques calculs algébriques avec j

Deux équations du second degré

Équation polynomiale de degré 4

Équation polynomiale de degré 4

Un système d'équations trigonométriques

Équation polynomiale de degré 3

Factorisation d'un polynôme bicarré en facteurs réels

Équation de droite dans le plan complexe

Alignement de z, z2 et z4

Somme trigonométrique & binomiale

Somme trigo & binomiale (bis)

Somme trigo & binomiale (ter)

Intégrale trigonométrique

Somme avec racine n-ième de l'unité

Projection du plan sur un cercle

Déterminer les polynômes tels que …

Déterminer les polynômes tels que … (bis)

Déterminer les polynômes tels que … (ter) et le décomposer en produits de polynômes irréductibles

Décomposition en produits de polynômes irréductibles

Décomposition en produits de polynômes irréductibles (bis)

Décomposition en produits de polynômes irréductibles (ter)

Décomposition d'un polynôme de degré n

Décomposition en éléments simples

Décomposition en éléments simples (bis)

Décomposition en éléments simples (ter)

Décomposition en éléments simples et somme télescopique

Famille libre à compléter

Familles libres ou non ?

Famille construite à partir de n vecteurs libres

Sous-espaces vectoriels

Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R4

Réunion de deux sous-espaces vectoriels

Bases de sous-espaces vectoriels

Indice de nilpotence maximal dans un espace de dimension fini

Famille libre de polynômes de degrés distincts

Famille libre de polynômes de valuations distinctes

Base de polynômes

Intégrales trigonométriques et famille de fonctions trigonométriques libre

Calcul matriciel - Inverse

Calcul matriciel - Inverse

Calcul matriciel - Puissance n-ième

Coefficients binomiaux, puissance n-ième et inverse

Calcul matriciel - Sous espace vectoriel de matrices

Suites récurrentes couplées

Caractérisation d'une composition nulle avec image et noyau

Application linéaire ? Noyau et image ?

Application linéaire ? Noyau et image ?

Application linéaire ? Noyau et image ?

Application linéaire ? Noyau et image ?

Application linéaire ? Noyau et image ?

Application linéaire ? Noyau et image ?

Application linéaire ? Noyau et image ?

Égalité des noyaux et images de 3 endomorphismes définis par compositions circulaires

Somme directe des noyau et image d'endomorphismes définis par compositions circulaires

Noyau d'un endomorphisme et de son carré

Projecteur composé de projecteurs

Projecteurs …

Projecteurs, noyaux et égalité d'ensemble

Projecteurs et somme directe d'images

Projecteur somme de projecteurs, noyau et image

Sous-espace vectoriel noyau d'une matrice et base de vecteurs

Matrice d'une application linéaire, et changement de bases

Matrice d'une application linéaire dans des bases pas canoniques

Calcul d'un déterminant

Calcul d'un déterminant

Calcul d'un déterminant

Calcul d'un déterminant

Calcul d'un déterminant

Calcul d'un déterminant

Calcul d'un déterminant

Calcul d'un déterminant avec paramètres

Famille libre ?

Matrice d'une application linéaire. Bijective ?

Matrice d'une application linéaire. Bijective ? Changement de base.

Application linéaire sur des polynômes.

Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle

Matrice inversible ? diagonalisable ?

Matrice diagonalisable ?

Matrice avec un paramètre: diagonalisable ?

Matrice redondante diagonalisable ?

Puissance n-ième d'une matrice 2x2 symétrique

Diagonalisation d'une matrice 4x4

Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité

Matrice d'un endomorphisme sans sous-espace stable

Rang et diagonalisabilité d'une matrice nilpotente d'indice 2

Somme directe des espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétiques, et diagonalisation d'une application

Diagonalisabilité d'une application linéaire entre polynomes

Système d'équations différentielles

Suites récurrentes couplées

Matrice d'une projection orthogonale dans l'espace

Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale

Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance

Matrice d'une projection orthogonale - Distance à un sous-espace

Minimisation d'une intégrale

Minimisation, moindres carrés et équations normales

Décomposition en série de Fourier

Décomposition en série de Fourier

Décomposition harmonique d'un signal triangulaire

Décomposition harmonique d'une impulsion périodique

Décomposition de Fourier d'un signal périodique parabolique

Formule des probabilités composées

Formule des probabilités totales

Formule de Bayes

Probabilité de bonne réponse à un QCM

Probabilité d''une réunion d'événements indépendants

Série géométrique dérivée, loi du 1er succès et loi du nombre de succès avec des cartes

Série géométrique dérivée, loi du 1er succès et loi du nombre de succès avec une pièce

Loi géométrique est sans mémoire

Somme de 2 lois de Poisson

Espérance de l'inverse d'une loi de Poisson

Comparaison de 2 variables géométriques

Variation et maximum d'une loi de Poisson

Min et max de deux lois exponentielles

Logarithme d'une loi uniforme

Carré d'une loi uniforme

Produit de la densité et fonction de repartition d'une loi normale