@ccueil Seconde Colles

Série de Fourier

Trois exemples de signaux et recomposition harmonique






Créneau
Triangulaire
Impulsion périodique
Largeur de l'impulsion

Coefficients de Fourier

  • La fonction a une moyenne nulle, donc $a_0=0$,
  • elle est impaire donc pour tout entier $n$, $a_n=0$
  • elle est 2$\pi$-périodique et impaire donc, avec $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$, pour tout entier $n\geqslant 1$,
    \[\begin{array}{ll}
  b_n&\dsp=\dfrac4T\int_0^\pi f(t)\sin\left( n\omega t\rp\,dt \\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac2\pi\int_0^\pi \sin\left( nt\rp\,dt \\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac2\pi\Bigl[\,-\dfrac{\cos(nt)}{n}\,\Bigr]_0^\pi\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac2{n\pi}\Bigl(-\cos(n\pi)-1\Bigr)\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac2{n\pi}\Bigl(1-(-1)^n\Bigr)
  \enar\]

    et donc, les termes de rang pair sont nuls: $b_{2p}=0$ et ceux de rang impair valent $b_{2p+1}=\dfrac4{(2p+1)\pi}$.
  • On obtient alors, en tout poit où $f$ est continue, donc pour tout $x\not=k\pi$, $k\in\Z$,
    \[f(x)=\dfrac4\pi\sum_{p\geqslant1}\dfrac{\sin\bigl((2p+1)x\bigr)}{2p+1}\]


  • La fonction est 2$\pi$-périodique, continue sur $\R$ et affine par morceaux avec, pour tout $x\in[0;\pi]$, $f(x)=\dfrac\pi2-x$.
    La fonction est paire donc, pour tout entier $n\geqslant1$, $b_n=0$
  • sa valeur moyenne est aussi nulle:
    \[\begin{array}{ll}a_0&\dsp=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\,dt \\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1\pi\int_0^\pi f(t)\,dt\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1\pi\int_0^\pi\lp\dfrac\pi2-t\rp\,dt\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1\pi\Bigl[\,\dfrac\pi2t-\dfrac{t^2}{2}\,\Bigr]_0^\pi\\[1em]
  &=0
  \enar\]

  • La pulsation est $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$ et alors, pour tout entier $n\geqslant1$, on a
    \[\begin{array}{ll}
  a_n&=\dsp\dfrac4T\int_0^\pi f(t)\cos(n\omega t)\,dt\\[1.2em]
  &=\dsp\dfrac2\pi\int_0^\pi\lp\dfrac\pi2-t\rp\cos(nt)dt
  \enar\]

    soit, en intégrant par parties,
    \[a_n=\dfrac2\pi\Bigr[\lp\dfrac\pi2-t\rp\dfrac{\sin(nt)}{n}\Bigr]_0^\pi
  -\dfrac2\pi\int_0^\pi(-1)\dfrac{sin(nt)}{n}dt\]

    et donc, puisque $\sin(n\pi)=\sin(0)=0$,
    \[\begin{array}{ll}a_n&\dsp=\dfrac2{n\pi}\int_0^\pi\sin(nt)dt\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac2{n\pi}\Bigl[-\dfrac{\cos(nt)}{n}\Bigr]_0^\pi
  \enar\]

    enfin, comme $\cos(n\pi)=(-1)^n$, on obtient donc que les coefficients de rang pair sont nuls: $a_{2p}=0$ et ceux de rang impair valent $a_{2p+1}=\dfrac4{(2p+1)^2\pi}$
  • Comme $f$ est continue sur $\R$, on obtient pour tout $x$ réel,
    \[f(x)=\dfrac4\pi\sum_{p\geqslant1}\dfrac{\cos\bigl((2p+1)x\bigr)}{(2p+1)^2}\]


  • La fonction est $\pi$-périodique, donc de pulsation $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2$, et telle que
    \[\psset{unit=1.4cm,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture}(-3.2,-1)(5.6,2.2)
  \psline{->}(-3.1,0)(5.5,0)
  \psline(-.05,1)(.05,1)\rput(-.2,1){1}
  \psline{->}(0,-.2)(0,2)\rput(-.15,-.3){0}
  \psline(3.14,.05)(3.14,-.05)\rput(3.14,-.3){$\pi$}
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-3,0)(-2.14,0)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-2.14,1)(-1.64,1)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-1.64,0)(1,0)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](1,1)(1.5,1)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](1.5,0)(4.14,0)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](4.14,1)(4.64,1)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](4.64,0)(5,0)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](-1.64,0)(-1.64,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](-2.14,0)(-2.14,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](1,0)(1,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](1.5,0)(1.5,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](4.14,0)(4.14,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](4.64,0)(4.64,1)
  \rput(1,-.25){$a$}\rput[l](1.4,-.2){$a\!+\!b$}
  \psline[arrowsize=6pt]{<->}(.95,-.5)(1.55,-.5)
  \rput(1.25,-.75){$b$}
  \end{pspicture}\]


  • sa valeur moyenne est
    \[a_0=\dfrac1\pi\int_0^\pi f(t)dt=\dfrac{b}\pi\]

  • Pour tout entier $n\geqslant1$,
    \[\begin{array}{ll}a_n&\dsp=\dfrac{2\pi}{T}\int_0^\pi f(t)\cos(n\omega t)dt\\[1.2em]
  &=\dsp2\int_a^{a+b} \cos(2nt)dt\\[1.2em]
  &\dsp=2\lb\dfrac{\sin(2nt)}{2n}\rb_a^{a+b}\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1n\Bigl(\sin\bigl(2n(a+b)\bigr)-\sin\bigl(2na\bigr)\Bigr)
  \enar\]

    et de même,
    \[b_n=-\dfrac1n\Bigl(\cos\bigl(2n(a+b)\bigr)-\cos\bigl(2na\bigr)\Bigr)\]

    Finalement, en tout point $x$$f$ est continue
    \[f(x)=\dfrac{b}{\pi}+\sum_{n\geqslant1}\Bigl( a_n\cos(2nx)+b_n\sin(2nx)\Bigr)\]



Voir aussi:
  • Transformée de Fourier - Analyse harmonique Lien
  • Quelques autres calculs détaillés des coefficients de Fourier Lien
  • Cours sur les séries de Fourier Télécharger