Approximation numérique de dérivées

Éléments de correction du cours

Exercice 1:

Soit

Pour tout on a et donc .
Avec un pas , une approximation de est, avec un schéma décentré à droite (ou avancé)

$\bgar{ll}f'(1)&\simeq\dfrac{f(1+h)-f(1)}h\\[.8em] &=\dfrac{f(1,5)-f(1)}{0,5}=4,75\enar$

et avec un schéma décentré à gauche (ou retardé)

$\bgar{ll}f'(1)&\simeq\dfrac{f(1)-f(1-h)}h\\[.8em] &=\dfrac{f(1)-f(0,5)}{0,5}=1,75\enar$
De même que précedemment,
- pour , le schéma décentré à droite donne
  
  $f'(1)\simeq\dfrac{f(1,1)-f(1)}{0,1}\simeq3,3$
  
  et à gauche
  
  $f'(1)\simeq\dfrac{f(1)-f(0,9)}{0,1}\simeq2,7$
- pour , le schéma décentré à droite donne
  
  $f'(1)\simeq\dfrac{f(1,05)-f(1)}{0,05}\simeq3,15$
  
  et à gauche
  
  $f'(1)\simeq\dfrac{f(1)-f(0,9)}{0,1}\simeq2,85$
- pour , le schéma décentré à droite donne
  
  $f'(1)\simeq\dfrac{f(1,0)-f(1)}{0,01}\simeq3,03$
  
  et à gauche
  
  $f'(1)\simeq\dfrac{f(1)-f(0,99)}{0,01}\simeq2,97$
Pour commenter et comparer des résultats approchés, il est important de parler d'erreur relative:

$\varepsilon_r=\left|\dfrac{\text{Valeur exacte}-\text{Valeur approchée}}{\text{Valeur exacte}}\right|$

On peut comparer ces erreurs relatives, dans un tableau:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \rule[-1em]{0em}{2.6em}$h$&$0,5$ &$0,1$&$0,05$&$0,01$\\\hline \rule[-1em]{0em}{2.6em}Schéma à droite&$\simeq0,58$&$\simeq0,1$&$\simeq0,05$&$\simeq0,01$\\\hline \rule[-1em]{0em}{2.6em}Schéma à gauche&$\simeq0,58$&$\simeq0,1$&$\simeq0,05$&$\simeq0,01$\\\hline \end{tabular}$

On remarque que l'erreur est justement de l'ordre de : c'est le sens du " " dans les formules de Taylor ou dans les développements limités:

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\simeq f'(a)+{\blue O(h)}$

On dit de ces formules qu'elles sont d'ordre 1 (pour $h^{\red 1}$ ).

Exercice 2:

On reprend la fonction

.

Le schéma centré s'écrit

$f'(a)\simeq\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$

soit, avec un pas

$f'(1)\simeq\dfrac{f(1,5)-f(0,5)}{2\tm0,5}=3,25$

puis avec

$f'(1)\simeq\dfrac{f(1,1)-f(0,9)}{2\tm0,1}=3,01$

puis

$f'(1)\simeq\dfrac{f(1,05)-f(0,95)}{2\tm0,05}=3,0025$

et enfin

$f'(1)\simeq\dfrac{f(1,01)-f(0,99)}{2\tm0,01}=3,0001$

Les valeurs approchées semblent plus précises. Plus précisément, en comparant les erreurs relatives:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \rule[-1em]{0em}{2.6em}$h$&$0,5$ &$0,1$&$0,05$&$0,01$\\\hline \rule[-1em]{0em}{2.6em}$\varepsilon_r$&$\simeq0,08$&$\simeq0,003$&$\simeq0,00008$&$\simeq3.10^{-5}$\\\hline \end{tabular}$

On a une méthode d'autre 2, c'est-à-dire que l'erreur varie cette fois comme $h^{\red2}$ comme on l'avait dans la formule

$f'(a)\simeq\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}+{\blue O\lp h^2\rp}$

Exercice 3:

On garde la fonction

Pour tout on a puis , et donc .
Une approximation de la dérivée seconde est donnée par le schéma

$f''(a)\simeq\dfrac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}$

soit,
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,5)-2f(1)+f(0,5)}{0,5^2}=6$
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,1)-2f(1)+f(0,9)}{0,1^2}=6$
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,05)-2f(1)+f(0,95)}{0,05^2}=6$
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,01)-2f(1)+f(0,99)}{0,01^2}=6$
Pour tous les pas, l'approximation numérique donne la valeur exacte.

Exercice 4: Soit $f(x)=\sqrt{x}$ .

On a $f'(1)=\dfrac1{2\sqrt{x}}=\dfrac12x^{-0,5}$
puis $f''(x)=\dfrac12\tm(-0,5)\tm x^{-0,5-1}=-\dfrac14x^{-1,5}$
et donc $f''(1)=-\dfrac14$ .
Une approximation de la dérivée seconde est donnée par le schéma

$f''(a)\simeq\dfrac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}$

soit,
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,5)-2f(1)+f(0,5)}{0,5^2}\simeq-0,27$
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,1)-2f(1)+f(0,9)}{0,1^2}\simeq-0,2507$
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,05)-2f(1)+f(0,95)}{0,05^2}\simeq-0,2501$
- avec un pas ,
  
  $f''(1)\simeq\dfrac{f(1,01)-2f(1)+f(0,99)}{0,01^2}\simeq-0,25001$
Pour commenter, on compare à nouveau les erreurs relatives:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \rule[-1em]{0em}{2.6em}$h$&$0,5$ &$0,1$&$0,05$&$0,01$\\\hline \rule[-1em]{0em}{2.6em}$\varepsilon_r$&$\simeq0,1$&$\simeq0,003$&$\simeq10^{-3}$&$\simeq3.10^{-5}$\\\hline \end{tabular}$

On trouve une erreur de l'ordre de .

Voir aussi: