@ccueil Colles

Suite récurrente et algorithmique

Bac S - Liban 2013


On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par

Partie A
  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang au rang . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
    Algorithme no1
    Variables:
    v est un réel
    i et n sont des entiers naturels

    Début de l'algorithme:
    Lire n
    v prend la valeur 1
    Pour i variant de 1 à n faire
        v prend la valeur
    9
    6-v

    Fin pour
    Afficher v

    Fin algorithme
    Algorithme no2
    Variables:
    v est un réel
    i et n sont des entiers naturels

    Début de l'algorithme:
    Lire n
    Pour i variant de 1 à n faire
    v prend la valeur 1
        v prend la valeur
    9
    6-v

    Fin pour
    Afficher v

    Fin algorithme
    Algorithme no3
    Variables:
    v est un réel
    i et n sont des entiers naturels

    Début de l'algorithme:
    Lire n
    v prend la valeur 1
    Pour i variant de 1 à n faire
        Afficher v
        v prend la valeur
    9
    6-v

    Fin pour
    Afficher v

    Fin algorithme
  2. Pour , on obtient l'affichage suivant :

    n=10


    Pour n=100, les derniers termes affichés sont :


    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ?
     
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ,
      .
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel ,
      .
      La suite est-elle monotone ?
    3. Démontrer que la suite est convergente.



Partie B - Recherche de la limite de la suite
 

On considère la suite définie pour tout entier naturel par


  1. Démontrer que est une suite arithmétique de raison
  2. En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de .
  3. Déterminer la limite de la suite .



Voir aussi: