@ccueil Colles

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Type: Cours
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Description
Algorithme et programmation: problèmes d'optimisation: maximisation d'un bénéfice
Niveau
-
Mots clé
algorithme de recherche d'un maximum, optimisation discrète, maximum d'une fonction, algorithme, programmation, optimisation discrète
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Algorithmique et programmation},
    pdftitle={Algorithmique et programmation},
    pdfkeywords={Mathématiques, algorithmique, programmation, 
      optimisation, 
      lycée, 2nde, seconde, 1S, 
      première, S, 1èreS, 1ère S, terminale, terminale S, 
      TI, python}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt 
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}


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\newcounter{nex}%[section]
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\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

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% Concernant la mise en page des algo:
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Algorithmique et programmation}
\author{Y. Morel}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - Problèmes d'optimisation - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-0.4cm}

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section} -\hspace{-.6em}}
\ct{\LARGE\bf \TITLE}
\medskip
\ct{\Large\bf Optimisation discrète}
\bigskip

\section{Un algorithme général: algorithme de \dotfill}

\noindent
\bgmp{10cm}
On considère l'algorithme suivant, 
dans lequel on entre successivement les valeurs 
12, 56, 23, 62, 13, 58. 

\medskip
Quelle valeur affiche finalement cet algorithme ? 

\medskip
\`A quoi correspond cette valeur ?
\enmp
\hfill\bgmp{8cm}
\fbox{\bgmp{7.6cm}
Affecter 0 à M \\
Pour i allant de 1 à 6\\
\PI Afficher "Entrer un nombre positif"\\
\PI Lire N\\
\PI Si N$>$M \\
\DPI Affecter N a M\\
\PI Fin Si\\
Fin Pour\\
Afficher M
\enmp}
\enmp

\section{Optimisation d'une fonction économique} 



\medskip
L'entreprise Motrélec fabrique et vend des moteurs. 

Chaque moteur vendu contribue bien évidemment aux bénéfices de l'entreprise, 
mais a aussi un co\^ut de fabrication. 
La capacité maximale de production de l'entreprise est de 100 moteurs. 

Ce co\^ut de fabrication est estimé, pour un nombre $x$ de moteurs, 
à $C(x)=\dfrac{x^2}{5}+10x+120$. 

En contrepartie, l'entreprise vend tous les moteurs qu'elle fabrique,  
et à un prix unitaire de 24 euros. 

\bgen
\item Déterminer le co\^ut de fabrication, puis le bénéfice, 
  pour 10 moteurs produits et vendus, 
  puis pour 30 moteurs, 50 moteurs et 60 moteurs.  

\item Donner l'expression, en fonction du nombre $x$ de moteurs, 
  du bénéfice réalisé par l'entreprise. 
\item En utilisant et adaptant l'algorithme/programme ci-dessus, 
  déterminer le nombre de moteurs permettant d'obtenir un bénéfice maximal ? 

\item \textit{Complément mathématique théorique:}
  \bgen[a)] 
  \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, 
    l'expression algébrique du bénéfice 
    peut s'écrire sous la forme 
    $B(x)=-\dfrac15(x-35)^2+125$. 

    \'Etudier alors le sens de variation de la fonction $B$ 
    sur les intervalles $[0;35]$ puis $[35;+\infty[$. 
        
    Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ 
    et retrouver le résultat donné par l'algorithme précédent. 
  \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, 
    l'expression algébrique du bénéfice peut s'écrire sous la forme 
    $B(x)=\dfrac15(-x+10)(x-60)$. 

    En déduire le signe de $B(x)$ et la production qui permet à
    l'entreprise d'\^etre rentable. 
  \enen
\enen

\label{LastPage}
\end{document}

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