@ccueil Colles

Calcul approché d'intégrale

Méthodes de Monté Carlo



Aire d'un disque: approximation de π à l'aide du hasard



Aire du rectangle
Nombre de points dedans:
Ratio:
Ratio x Aire rectangle:
Exercice 1:
  1. Le programme suivant permet de tirer un nombre x aléatoire, et uniformément, entre 0 et 1; la variable y suivante est alors une variable aléatoire comprise entre -1 et 1.
    En d'autres termes, y est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [-1;1].
    from random import random
    x=random()
    print(x)
    y=2*x-1
    print(y)
    
  2. Quelle est l'aire du cercle centré à l'origine et de rayon 1 ?
    À quelle condition un point M(x;y) est-il à l'intérieur de ce cercle ?
  3. Compléter le programme suivant
    from random import random
    n=int(input("Nombre points ? n= "))
    
    c=0
    for i in range(n):
        x=2*random()-1
        y=2*random()-1
        if ( ... ):
            ...
    print("Nombre de points dans le disque:")
    print( ... )
    print("Ratio:", ... )
    print("Approximation de l'aire du disque:")
    print( ... )
    


Aire sous une courbe: intégrale



Nombre de points dedans:
Ratio:
Aire:
Exercice 2:
  1. Décrire algébriquement le domaine sur la figure précédente compris entre les abscisses 0 et 2, et entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction f.
    Solution
    Il s'agit du domaine compris entre les droites (verticales) d'équations x=0 et x=2, et entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction f définie par l'expression
    $f(x)=x^3-2x^2+2$.
    c'est-à-dire le domaine défini par
    \[
\mathcal{D}=\left\{ \begin{array}{l} \ \\ M(x;y) \text{ tel que }
\left\{\bgar{ll}
&0\leqslant x\leqslant 2\\ \text{et}&0\leqslant y\leqslant f(x)\end{array}
\right.\\ \ \enar\ra\]

  2. Calculer l'aire exacte de ce domaine.
    Solution
    Une primitive de la fonction f définie par l'expression
    $f(x)=x^3-2x^2+2$.
    est donnée par l'expression
    $F(x)=\dfrac14x^4-\dfrac23x^3+2x$.
    et l'aire du domaine est alors l'intégrale
    \[\begin{array}{ll}\dsp\int_0^2 f(x)dx
&=\dsp\int_0^2 \left( x^3-2x^2+2 \right) dx \\&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^2 \\&=F(2)-F(0)\enar\]

    avec
    \[\begin{array}{ll}F(2)&=\dfrac14\tm2^4-\dfrac23\tm2^3+2\tm2\\&=4-\dfrac{2^4}3+4=\dfrac{8}3\enar\]

    et
    \[F(0)=0\]

    ce qui nous donne donc l'aire
    \[\int_0^2 f(x)dx=\dfrac83\simeq2,666\dots\]

  3. Compléter le programme suivant pour qu'il affiche une approximation de l'intégrale précédente:
    from random import random
    def f(x):
        return x**3-2*x**2+2
    
    n=int(input("Nombre points ? n= "))
    
    c=0
    for i in range(n):
        x= ... * random() ... 
        y= ... * random() ... 
        if ( ... ):
            ...
    print("Nombre de points sous la courbe:")
    print( ... )
    print("Ratio:", ... )
    print("Approximation de l'intégrale:")
    print( ... )
    
Exercice 3:
Exercice Bac S (septembre 2019): Intégrale gaussienne, encadrements et algorithme de Monté Carlo.


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