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\usepackage{epsf}

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\usepackage{color}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\scp}{\scriptstyle}
\nwc{\sscp}{\scriptscriptstyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\V}{\overrightarrow}


\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}


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%  The environment centerpage centers text vertically on the page.  This is
%  useful within a titlepage environment.

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\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
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\nwc{\deftitle}{Définition}
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  \begin{minipage}[t]{\cold-\ldef-10em}{\it #1}
  \end{minipage}
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  \begin{minipage}[t]{\cold-\ldef-10em}{\it #1}
  \end{minipage}
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\nwc{\bgnot}[1]{\paragraph{\ul{\notationtitle:}} 
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-2cm}

%\setlength{\extrarowheight}{8pt}

\ct{\huge Calcul Matriciel}

\sectionc{Introduction}

Si les matrices sous leur formalisme actuel datent du début du XXe
siècle, avec notamment l'appui de Heisenberg, l'intérêt pour les 
«tableaux de chiffres » est bien plus ancien. 

Par exemple, le problème des « carrés magiques » intriguait déjà les
mathématiciens chinois en 650 av. J.-C. et les systèmes d'équations
linéaires furent complètement résolus avec les matrices trois siècles
plus tard. 
La méthode de Cramer (1750) en est l'équivalent moderne. 

\vspd
En 1925, Heisenberg utilise la théorie des matrices pour formuler la
mécanique quantique (d'ailleurs alors aussi appelée ``mécanique des
matrices''\dots), ancrant définitivement dans l'esprit des 
mathématicien l'intérêt indéniable de ces objets, et convaincant les
physiciens de l'efficacité de son utilisation. Dans les années qui
suivent, de nombreux résultats furent découverts, en cryptographie, en
calcul, en théorie des graphes, en optique... 

\vspd
La décomposition de matrices est encore actuellement un thème de
recherche. 
De telles opérations permettent par exemple 
\bgit
\item de diminuer le temps de calcul informatique de simulations
  numériques de phénomènes physiques, écono\-miques,~\dots, et donc de
  permettre d'en réaliser de plus précises, plus complexes et donc
  plus réalistes. 
\item de séparer le bruit d'une image (décomposition en valeurs
  singulières), 
\item de repérer les caractéristiques d'un code génétique 
  ou d'étudier automatiquement des données statistiques (analyse en
  composantes indépendantes)
\item \dots
\enit

\vspd
\paragraph{Carrés magiques.} Compléter le tableau suivant avec les nombres de 1
à 9 de telle manière que la somme des nombres sur chaque ligne, sur
chaque colonne et sur chaque diagonale soit égale à 15. 

\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  2 & \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp& \\\hline
  \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&5& \\\hline
  4 & &\bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
\end{tabular}
}

\vspd
On peut de même rechercher un carré magique d'ordre 4, les sommes
étant cette fois de 34: 

\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  16 & 3 &&\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
  \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&10& &\\\hline
   & &\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp  &\\\hline
  4 & \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&14 &1 \\\hline  
\end{tabular}
}

{\it (la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases
  centrales ou encore dans les quatre cases d'angle vaut aussi 34) }


\paragraph{Image numérique.} On peut représenter numériquement une
image en découpant celle-ci suivant une grille comportant un certain
nombre de lignes et de colonnes. 

En associant chaque couleur à un nombre, puis un nombre à chaque
``case'' de cette grille, usuellement appelée pixel (pour 
{\it picture element}), on reconstitue ainsi l'image. 

La dimension du pixel et le nombre utilisé (donc le nombre de lignes
et de colonnes) donne la qualité de définition de l'image. 
Par exemple, les appareils photo numériques actuels sont équipés de
capteur de quelques mégapixels (c'est-à-dire millions de pixels). 

\vspt
\ct{
%\includegraphics[width=5cm,bb= 20 20 300 500]{./FIG/Resolution_test.jpg}
\epsx=13cm\epsy=4cm
\epsfbox{./FIG/Resolution_test.eps}
}

\sectionc{Définitions}

\bgdef{
  Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. 
  
  Une matrice de dimension $n\tm p$ est un tableau de réels à $n$
  lignes et $p$ colonnes. 
}

\vspd 

\ul{Ex:} $M=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$ est une matrice
de dimension\ \  $ \dots\tm \dots$. 

\vspt\vsp
Soit $A(1,1,1)$ et $B(1,2,3)$ deux points de l'espace; 
$A$ et $B$ peuvent être considérés comme des matrices de dimension
$\dots\tm\dots$, et le vecteur $\V{AB}\lp\bgar{c} 0\\ 1\\2\enar\rp$
comme une matrice de dimension $\dots\tm\dots$.



\bgnot{
  Si $A$ est une matrice de dimension $n\tm p$, on note $a_{i,j}$
  le terme de la ligne $i$ et de la colonne $j$. 
  On a ainsi,
  
  \[A=\lp\bgar{cccccc} 
  a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,p} \\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,j} & \cdots & a_{2,p} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  &        & \vdots\\
  a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,j} & \cdots & a_{i,p} \\
  \vdots  & \vdots  &        & \vdots  & \ddots & \vdots\\
  a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,p} \\
  \enar\rp\]
}

$a_{i,j}$ est le terme général de la matrice $A$. 

On note aussi, plus simplement, 
$A=\lp a_{i,j}\rp_{\bgar{l} \sscp{1\leq i\leq n}\vspace{-0.2cm}\\ \sscp{1\leq j\leq p}\enar}$.

\vspd
\ul{Ex:} Soit $A$ la matrice de dimension $3\tm4$ définie par 
$a_{i,j}=i+j$, alors \ \ 
$A=\lp\bgar{ccc} &\hspace*{1cm}&\\&&\\&&\\&&\enar\rp$


\vspd

\ul{Cas particuliers:} Soit $M$ une matrice de taille $n\tm p$:
\vspd
\bgit
\item[$\bullet$] Si $n=p$, alors $M$ est une \ul{matrice carrée
       d'ordre n};
  \vsp
\item[$\bullet$] Si $n=1$, $M$ est un vecteur ligne de dimension $p$;
  (par exemple, les points $A$ et $B$ précédents)
  \vsp
\item[$\bullet$] Si $p=1$, $M$ est un vecteur colonne de
  dimension $n$. 
  (par exemple le vecteur $\V{AB}$ précédent). 
\enit
  
\bgdef{
  Soit $A$ une matrice de dimension $n\tm p$. On appelle transposée
  de la matrice $A$, notée $^t\!A$, la matrice de dimension $p\tm n$
  dont les lignes sont les colonnes de $A$. 
}

\ul{Ex:} $M=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$, alors \ \ 
$^t\!M=\lp\bgar{cc} 2 &-1 \\ 3&0 \\ -5& 6\enar\rp$.

\vspd
Soit $N=\lp\bgar{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \enar\rp$, alors 
$^t\!N$ est une matrice de dimension \ \ $\dots \tm \dots$, et \ \ 
$^t\!N=\lp\bgar{ccc} &\hspace*{1cm}&\\&&\\&&\\&& \enar\rp$


\sectionc{Opérations sur les matrices}

\subsectionc{Egalité de deux matrices}

\bgdef{
  Soient $A$ et $B$ deux matrices de dimension $n\tm p$,
  $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$. 
  Dire que $A=B$ signifie que $A$ et $B$ sont de même dimension, et
  que 
  $a_{i,j}=b_{i,j}$, pour tout 
  $1\leq i\leq n$ et $1\leq j\leq p$. 
}
  
\ul{Ex:} 
$\lp\bgar{ccc} a&b&c\\d&e&f\enar\rp
=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$
est équivalent à $a=2$, $b=3$, $c=-5$, \dots


\subsectionc{Addition de deux matrices}

\bgdef{
  Soient $A$ et $B$ deux matrices de même dimension $n\tm p$. 
  La somme $A+B$ est la matrice obtenue en additionnant deux à deux
  les termes qui ont la même position dans $A$ et $B$. 
  
  Si $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$, alors $A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})$.
}

\vspd
\ul{Ex:} 
$A=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{ccc} 1&-4&7\\0&3&-2\enar\rp$
alors, 
$A+B=\lp\bgar{ccc} 2+1&3-4&-5+7\\-1+0&0+3&6-2\enar\rp$

\vspt
\ul{Ex:} 
$A=\lp\bgar{cc} 6&-1\\-1&0\\-4&5\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&-3\\0&3\\2&10\enar\rp$
alors, \ \ 
$A+B=\lp\bgar{ccc} &\hspace*{1cm}&\\&&\\&&\\&& \enar\rp$

\subsectionc{Multiplication d'une matrice par un réel}

\bgdef{
  Soit $A$ une matrice $n\tm p$. Le produit de la matrice $A$ par le
  réel $k$ est la matrice $n\tm p$, notée $kA$, obtenue en
  multipliant chaque terme de $A$ par $k$. 
}

\vspd
\ul{Ex:} 
$A=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$, alors, \ \ 
$3A=\lp\bgar{ccc} &\hspace*{1cm}&\\&&\\&&\\&& \enar\rp$. \ \ 
$B=\lp\bgar{cc} 2&3\\-1&0\\6&-2\enar\rp$, alors, \ \ 
$-2B=\lp\bgar{ccc} &\hspace*{1cm}&\\&&\\&&\\&& \enar\rp$

Soit $C=\lp\bgar{cc} 1&-3\\-1&10\\5&-3\enar\rp$, alors 
$3C=\lp\bgar{ccc} &\hspace*{1cm}&\\&&\\&&\\&& \enar\rp$, 
et, \ \ 
$D=3C-2B=\lp\bgar{ccc} &\hspace*{1cm}&\\&&\\&&\\&& \enar\rp$

\vspt
Peut on calculer la matrice $E=3A+B$ ?

\vspt
\ul{Ex:} 
Soit $A=\lp\bgar{cc} 1&-3\\-1&10\enar\rp$, et  
$B=\lp\bgar{cc} 6&-5\\7&-12\enar\rp$. 
Déterminer la matrice $C$ telle que $A+C=B$. 


\vspd
\ul{Ex:} Soit les vecteurs de l'espace 
$\vec{u}=\lp\bgar{c} 1\\0\\-3\enar\rp$ et
$\vec{v}=\lp\bgar{c} 7\\-2\\1\enar\rp$. 

\vspt\hspace{0.7cm}
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w}=2\vec{v}-3\vec{u}$.

\sectionc{Multiplication de matrices}

\subsectionc{Multiplication par un vecteur colonne}

Soit $A=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$ 
et $B=\lp\bgar{c} 1\\2\\-4\enar\rp$ 
alors la matrice produit, notée $A\tm B$, est obtenue suivant: 
\vspace{-.8cm}
\[
\bgar{cc}
& \lp\bgar{c} 1\\2\\-4\enar\rp \\
\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp & 
\lp\bgar{ccc} 2\tm1+3\tm2-5\tm(-4)\\-1\tm1+0\tm2+6\tm(-4) \enar\rp
=\lp\bgar{ccc} 28\\-25\enar\rp 
\enar
\]

\subsectionc{Multiplication de deux matrices}

Soit $A=\lp\bgar{cc} 2&3 \\-5&-1\\0&6\enar\rp$, de dimension $3\tm2$, 
et $B=\lp\bgar{cc} 2&5\\-4&1\enar\rp$, de dimension $2\tm2$,  

alors la matrice produit, notée $A\tm B$, est obtenue suivant: 

\[
\bgar{clc}
&B=\lp\bgar{cc} 2&\hspace{3cm}5\\-4&\hspace{3cm}1\enar\rp\vspd \\
A=\lp\bgar{cc} 2&3 \\-5&-1\\0&6\enar\rp &
\lp\bgar{cc} 2\tm2+3\tm(-4) & 2\tm5+3\tm1 \\
-5\tm2-1\tm(-4) & -5\tm5-1\tm1 \\
0\tm2+6\tm(-4) & 0\tm5+6\tm1 
\enar\rp
&=\lp\bgar{cc}-8&13\\-6&-26\\-24&6\enar\rp
\enar
\]

\bgprop{
  Le produit $A\,B$ des deux matrices $A$ et $B$ existe si et
  seulement si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de
  lignes de $B$, i.e. si $A$ est de dimension $n\tm p$ et $B$ de
  dimension $p\tm q$. 

  La matrice produit est alors de dimension $n\tm q$.
}

\vspd
\ul{Ex:} Le produit d'une matrice $3\tm 5$ par une matrice $5\tm 7$
est une matrice de dimension $3\tm 7$. 

\vspd
\ul{Ex:} 
Soit $A=\lp\bgar{ccc} 5&3&-1\\4&2&3 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{ccc} -2&0&4\\1&2&3\\4&5&6 \enar\rp$. 

\vspd
Quelle est la dimension de la matrice produit $A\,B$ ? 

\vspd
Peut-on calculer la matrice produit $B\,A$ ? 

\vspt
Calculer $A\,B$. 

\vspace{3cm}
\ul{Ex:} Soit $A=\lp\bgar{cc} 1&2\\1&2\enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} -2&2\\1&-1\enar\rp$. 

\vspd
Quelles sont les dimensions des matrices produits $A\,B$ et $B\,A$ ? 

\vspd
Calculer les produits $A\,B$ et $B\,A$. 

\vspace{3cm}


\ul{Ex:} Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&3\\1&0 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&1\\-3&2 \enar\rp$. 

Déterminer les dimensions des matrices produits $A\,B$ et $B\,A$, puis
les calculer.  
\vspace{3cm}


\ul{Ex:} Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&-3\\4&-5 \enar\rp$. 
Déterminer les dimensions de la matrice $A^2$, puis la calculer. 
\vspace{3cm}

\ul{Ex:} Soit $a$ un réel, 
$A=\lp\bgar{cc} a&a\\a&a \enar\rp$, et 
$N=\lp\bgar{cc} 1&1\\1&1 \enar\rp$. 

a) Calculer $NA$. 

b) En déduire que $N^2=2N$, puis exprimer $N^3$, $N^4$ et $N^5$ en
fonction de $N$. 

c) Quelle conjecture peut-on alors faire au sujet de $N^p$, pour tout
entier $p$ ?

\vspace{5cm}

\subsectionc{Matrice unité}

\bgdef{
  On note $I_n$ la matrice carrée d'ordre $n$ qui comporte des 1 sur
  sa diagonale, et des zéros partout ailleurs. 
}

\vspd
\ul{Ex:} $I_2=\lp\bgar{cc}1&0\\0&1\enar\rp$
\hspace{0.5cm}
$I_3=\lp\bgar{cc} \ \ & \ \ \\ \ \ & \ \ \enar\rp$
\hspace{0.5cm}
$I_4=\lp\bgar{cccc} \ & \ & \ & \ \\ \ &\ & \ &\ \\ \ &\ & \ &\ \enar\rp$

\vspd
\ul{Ex:} Soit $A=\lp\bgar{cc} 2&5\\-4&1\enar\rp$. Calculer les produits
$A\,I_2$ et $I_2\,A$.

\vspace{3cm}
\bgprop{
  Pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $n$, on a 
  $A\tm I_n=I_n\tm A=A$. 
}

\sectionc{Systèmes d'équations et matrices}

\subsectionc{Ecriture matricielle d'un système}

Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 3 \\ -1 & 4 \enar\rp$, $B\lp\bgar{c}
8\\7\enar\rp$, et 
$X=\lp\bgar{c} x \\ y \enar\rp$, alors 
$A\,X = \lp\bgar{c}  \dots\ \ \dots  \vspd\\  \dots\ \ \dots  \enar\rp$
et donc l'égalité matricielle $AX=B$ est équivalente à:

\[\la\bgar{cc}\hspace*{1cm}&= \vspd \\ &=\enar\right.\]

Resoudre ce système.

\vspt
Ecrire sous forme matricielle les systèmes: 


\[ 
\la\bgar{ccccc}3x &+ &2y &= &5\\-x &+ &7y &= &-12\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{ccccc}5x &- &3y &= &5\\-2x &+ &9y &= &-14
\\5x &- &2y &= &1\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{ccccccccc}
  3x &+ &2y &+ &z  &- &t  &= &5\\
  -x &+ &7y &+ &3z &- &4t &= &-12\\
  x  &- &y  &- &z  &- &t  &= &1\\
  -2x&+ &3y &+ &2z &- &7t &= &24
\enar\right.
\]

\vspace{4cm}

\subsectionc{Matrice inverse}

\bgdef{
  Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$, et $I_n$ la matrice unité
  d'ordre $n$. 

  On appelle matrice inverse de $A$, lorsqu'elle existe, la matrice
  notée $A^{-1}$ telle que $$A\tm A^{-1} = A^{-1}\tm A=I_n$$. 

  On dit alors que la matrice $A$ est \ul{inversible}. 
}

\vspd\vspd
\ul{Ex:} Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 5\\ 3& 8\enar\rp$. 
Vérifier que $A^{-1}=\lp\bgar{cc}8&-5\\-3&2\enar\rp$. 

\vspace{3cm}

\subsectionc{Résolution de systèmes linéaires}

\bgprop{
  Soit $A$ une matrice carrée inversible, alors le système $AX=B$
  admet une solution unique donnée par : $X=A^{-1}\,B$.
}

\vspd
Résoudre les systèmes: 

\vspace{0.5cm}
$\la\bgar{ccccr} 2x &+ &5y &= &3\\ 3x &+ &8y &= &1\enar\right.$

\vspace{2cm}
$\la\bgar{ccccr} 2x &- &3y &= &7\\ -x &+ &6y &= &5\enar\right.$

\vspace{2cm}
$\la\bgar{ccccccr} 
2x &+ &3y &+ &z  &= &9\\ 
x  &- &2y &+ &4z &= &-6\\
   &  &x  &- & z &= &6
\enar\right.$


\end{document}