Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\nwc{\TITLE}{Exercices de mathématiques - $1^\text{ère}S$ - Du calcul !}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{\TITLE}%\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}
\bgex
"Simplifiez" l'écriture des nombres ou expressions algébriques
suivantes
(entre autre, écrire sous la forme d'une seule fraction, au plus,
sans racine carrée au dénominateur):
$A=\dfrac{\dfrac13+3}{\dfrac16+6}$ \qquad
$B=3\tm\dfrac{2+\dfrac12}{2-\dfrac12}$ \qquad
$C=2\tm\dfrac{\dfrac{7}{2}+1}{\dfrac34-5}-\dfrac53$ \qquad
$D(x)=3+\dfrac{6}{x+2}$ \qquad
$E(x)=2-\dfrac{3}{x^2}$\\
$F(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ \qquad
$G(x)=\dfrac{7}{x^2+3}-1$ \qquad
$H(x)=-2-\dfrac{3x-1}{x-2}$ \qquad
$I(x)=\dfrac{\dfrac{3x}{2}-5}{\dfrac{x}{3}+3}$\\
$J(x)=\dfrac{2x-1}{2x^2-1}-3$ \qquad
$K(x)=2x-1+\dfrac{3x}{2x-1}$ \qquad
$L(x)=-x+2-\dfrac13\tm\dfrac{2x}{x+2}$\\[.5em]
$M=\lp\sqrt{12}-\sqrt3\rp^2$ \qquad
$N=\lp3\sqrt2\rp^2-\lp\sqrt2-1\rp^2$ \qquad
$P=\dfrac{\lp1-\sqrt3\rp^2}{2-\sqrt3}$ \qquad
$Q=\dfrac{3\sqrt2-2\sqrt3}{\sqrt6}$ \\
$R=3-\dfrac{3+2\sqrt3}{\sqrt3}$ \qquad
$S=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}+5}{\sqrt{3}-\dfrac12}$ \qquad
$T=\dfrac{1}{\sqrt2-1}-\dfrac{1}{\sqrt2+1}$ \qquad
$U=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$
\enex
\bgex
Dresser le tableau de signes des expressions suivantes:\\[.6em]
$A(x)=(x+3)(2x-5)$ \qquad
$B(x)=(-2x+5)(5x+9)$ \qquad
$C(x)=\dfrac{3x+2}{-2x+5}$ \qquad
$D(x)=3+\dfrac{6}{x+2}$ \\[.5em]
$E(x)=x^2-5x+6$ \qquad
$F(x)=-3x^2+5x+2$ \qquad
$G(x)=\dfrac{(x+2)(-x^2+5x-4)}{-2x+3}$ \quad
$H(x)=3+\dfrac{6}{(x+2)^2}$ \qquad
\\[.5em]
$I(x)=2x+\dfrac{4}{x-3}$
$J(x)=2-\dfrac{3}{x^2}$\qquad
$K(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ \quad
$L(x)=\dfrac{7}{x^2+3}-1$ \quad
$M(x)=-2-\dfrac{3x-1}{x-2}$ \qquad
$N(x)=\dfrac{\dfrac{3x}{2}-5}{\dfrac{x}{3}+3}$\qquad
$P(x)=\dfrac{2x-1}{2x^2-1}-3$ \qquad
$Q(x)=2x-1+\dfrac{3x-1}{2x-1}$ \qquad
$R(x)=-x+2-\dfrac13\tm\dfrac{2x}{x+2}$
\enex
\bgex Résoudre les inéquations: \\[.5em]
a) $(x+2)(2x-5)>0$ \quad
b) $\dfrac{6}{x+2}<-3$ \quad
c) $\dfrac{1}{x-1}\geqslant\dfrac{1}{x+1}$ \quad
d) $\dfrac{2x-1}{2x^2-1}\leqslant3$
\enex
\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions définies par les expressions
suivantes: \\[.6em]
a) $f(x)=x^3-\dfrac{15}{2}x^2+18x-5$ \quad
b) $f(x)=2x+\dfrac{3}{x}$ \quad
c) $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+5}$ \quad
d) $f(x)=\dfrac{-2x+3}{-2x+4}$
\enex
\bgex
Soit les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions
$f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ et $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$.
\'Etudier la position relative des courbes représentatives
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de ces deux fonctions.
\enex
\bgex
Soit les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions
$f(x)=2x-1$ et $g(x)=\dfrac{3x-1}{2x-1}$.
\'Etudier la position relative des courbes représentatives
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de ces deux fonctions.
\enex
\bgex
Déterminer le minimum de la fonction $f$ définie sur
$\Bigl]\dfrac13;+\infty\Bigr[$ par $f(x)=3x-1+\dfrac{1}{3x-1}$
\enex
\noindent
\bgmp{13.5cm}
\bgex
La trajectoire d'un mobile est portée par la courbe $\mathcal{C}$
d'équation $y=\dfrac{1}{x}$ dans un repère orthonormé.
On admet que lorsqu'il quitte sa trajectoire en $M$, le mobile
poursuit son mouvement en ligne droite sur la tangente à $\mathcal{C}$
en $M$.
A quel endroit doit-il quitter sa trajectoire pour passer par le point
$A(4;0)$ ?
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{4cm}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.3)(6,6)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.3,0)(5.7,0)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-.3)(0,6.2)
\psplot[linewidth=1.5pt]{0.18}{5}{1 x div}
\rput(0.8,4.8){$\mathcal{C}$}
\psline[arrowsize=10pt,arrowinset=0.5,arrowlength=1.3]{->}(0.4,2.5)(0.41,2.44)
\psline[arrowsize=10pt,arrowinset=0.5,arrowlength=1.3]{->}(0.2,5)(0.21,4.94)
%
\psplot{1}{5}{-0.25 x 2 sub mul 0.5 add}
\rput(2,0.46){$\bullet$}\put(2,0.7){$M$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par \ \
$f(x)=4x^2-6x+2$.
Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de $f$
est toujours au dessus de n'importe laquelle de ses tangentes.
\enex
\bgex
{\sl On dit que deux paraboles sont tangentes entre elles lorsqu'elles
ont un point commun~$A$ et une tangente commune en $A$.}
\medskip
A tout nombre $m\not=0$, on associe la parabole
$\mathcal{P}_m$ d'équation \ \
$y=mx^2+(1-2m)x+m$.
Montrer que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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