Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: produit scalaire},
pdftitle={Produit scalaire - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
produit scalaire}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
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\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
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\noindent
\paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Angles orientés - Produit scalaire - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{ère}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
%\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\section{Angles orientés - Trigonométrie}
\vspace{-.8em}
\bgex
Donner la mesure principale de:
\vsp
$\bullet$ $-\dfrac{5\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{11\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $-\dfrac{11\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $-\dfrac{13\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{27\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{2005\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{37\pi}{6}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{178\pi}{8}$
\enex
\noindent
\bgmp{13cm}
\bgex
$ABC$ est un triangle équilatéral tel que
$\lp\V{AB},\V{AC} \rp=\dfrac{\pi}{3}$
et $\lp AE\rp /\!/ \lp BC\rp$.
\vspd
Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés:
\vspd
$\lp\V{BA},\V{BC}\rp$,
$\lp\V{CA},\V{CB}\rp$,
$\lp\V{BC},\V{AB}\rp$,
$\lp\V{AB},\V{CB}\rp$,
$\lp\V{AB},\V{AE}\rp$,
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{3.5cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0.85)(0.5,0.85)(1,0)(0,0)
\psline(0.5,0.85)(-0.9,-1.4)
\rput(-1,0.65){$E$}
\rput(0.7,0.8){$A$}
\rput(0,-0.2){$B$}
\rput(1,-0.2){$C$}
\rput(-1.1,-1.4){$D$}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
$ABC$ est un triangle tel qu'une mesure de
$\lp\V{AB},\V{AC}\rp$ est $\dfrac\pi2$
et une mesure de
$\lp\V{BA},\V{BC}\rp$ est $-\dfrac\pi6$.
La droite $(AH)$ est la hauteur issue de $A$.
Déterminer les mesures principales des angles:
\vspd
$\lp\V{AB},\V{BC}\rp$\ ;\quad
$\lp\V{AB},\V{CA}\rp$\ ;\quad
$\lp\V{AH},\V{CB}\rp$\ ;\quad
$\lp\V{AH},\V{BA}\rp$
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,4)
\pspolygon(0,0)(5,0)(0,3)
\psline(0,0)(1.3235,2.2059)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(5.2,-0.2){$B$}
\rput(-0.2,3){$C$}
\rput(1.4,2.45){$H$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que:
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp=\dfrac\pi4 + k2\pi$, $k\in\Z$.
\vspd
Donner les mesures de:
$\lp\vec{u},-\vec{v}\rp$\ ;\quad
$\lp3\vec{u},2\vec{v}\rp$\ ;\quad
$\lp-2\vec{u},-4\vec{v}\rp$\ ;\quad
$\lp2\vec{v},-2\vec{u}\rp$
\enex
\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
Une mesure de $\lp\V{BA},\V{BC}\rp$ est $-\dfrac{5\pi}{6}$, et de
$\lp\V{DC},\V{DE}\rp$ est $\dfrac{\pi}{3}$.
Déterminer une mesure de l'angle $\lp\V{AB},\V{DE}\rp$.
Que peut-on en conclure quant aux droites $(AB)$ et $(DE)$ ?
\enex
\enmp\hfill
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,1.5)(8,2)
\psline(0,2)(3,0)(5,0)(5,3)(8,1)
\psline(4.7,0)(4.7,0.3)(5,0.3)
\rput(0,2){$\bullet$}\rput(-0.3,2.1){$A$}
\rput(3,0){$\bullet$}\rput(3,-0.35){$B$}
\rput(5,0){$\bullet$}\rput(5,-0.35){$C$}
\rput(5,3){$\bullet$}\rput(4.7,3.2){$D$}
\rput(8,1){$\bullet$}\rput(8.3,1.1){$E$}
\end{pspicture}
\bgex
$ABCD$ est un parallélogramme. Montrer que:
$\lp\V{AB},\V{AD}\rp+\lp\V{CB},\V{CD}\rp=k2\pi$,
$k\in\Z$.
\enex
\bgex
Donner les valeurs exactes de:
\vspd
$\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\ ;\quad
$\sin\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\ ;\quad
$\cos\dfrac{5\pi}{6}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{5\pi}{6}$\ ;\quad
$\cos\dfrac{4\pi}{3}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{4\pi}{3}$\ ;\quad
$\cos\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp$\ ;\quad
$\sin\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp$\ ;\quad
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $x\in\lb0;\pi\rb$ tel que
$\cos x = -\dfrac{1}{4}$.
Déterminer $\sin x$.
\item Soit $x\in\lb\dfrac{\pi}{2};\pi\rb$ tel que
$\sin x = \dfrac{3}{5}$.
Déterminer $\cos x$.
\enen
\enex
\bgex
On pose $m=\sin\dfrac{\pi}{10}$.
Exprimer en fonction de $m$: \quad
$\sin\dfrac{9\pi}{10}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{11\pi}{10}$\ ;\quad
$\cos\dfrac{4\pi}{10}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{6\pi}{10}$
\enex
\bgex
Calculer les expressions suivantes, sans utiliser la calculatrice:
\[\bgar{llllllll}
A
&=\sin\dfrac{2\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{4\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{6\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{8\pi}{5}\ .
\\[0.3cm]
B
&=\sin\dfrac{3\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{5\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{11\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{13\pi}{8}\ .
\\[0.3cm]
C
&=\cos\dfrac{\pi}{10}
&+&\cos\dfrac{2\pi}{5}
&+&\cos\dfrac{3\pi}{5}
&+&\cos\dfrac{9\pi}{10}\ .
\enar\]
\enex
\bgex
\bgen
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\cos x=\cos\dfrac\pi6$.
\item Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'équation
$\sin x=\sin\dfrac\pi6$
et représenter ses solutions sur un cerlce trigonométrique.
\item Donner la mesure principale des solutions de l'équation
$\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$.
\enen
\enex
\bgex
Résoudre dans $\R$ l'équation:\quad
$\cos\lp x+\dfrac{\pi}{6}\rp=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Donner la mesure principale des angles $x$ solutions.
\enex
\bgex
Résoudre dans $\R$ l'équation:\quad
$2\sin\lp2x+\dfrac{\pi}{2}\rp=1$.
Donner la mesure principale des angles $x$ solutions.
\enex
\bgex
Déterminer les racines de
$P(X)=2X^2-X-1$.
En déduire les solutions de l'équation: \quad
$2\cos^2x-\cos x-1=0$.
\enex
\bgex
Résoudre dans $\R$ l'équation:\quad
$2\cos^2x-3\cos x=2$.
\enex
\bgex
Résoudre dans $\R$ l'équation:\quad
$4\sin^2\lp 2x+\dfrac{5\pi}{6}\rp
+4\sin\lp 2x+\dfrac{5\pi}{6}\rp=3$.
\enex
\section{Produit scalaire}
\vspace{-.4em}
\bgex
Soit $ABC$ un triangle tel que
$AB=4$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.
\bgen
\item Calculer $\V{AB}\cdot\V{AC}$ et en déduire
$\V{CB}\cdot\V{CA}$.
\item L'angle $\widehat{ACB}$ est-il aigu ou obtus ?
\enen
\enex
\bgex
$ABCD$ est un parallélogramme tel que
$AB=4$,
$AD=5$
et $AC=7$.
\bgen
\item Calculer $\V{AB}\cdot\V{AD}$,
$\V{AB}\cdot\V{CA}$ et $\V{CB}\cdot\V{CD}$.
\item Déterminer une valeur approchée des mesures des angles
$\lp\V{AB},\V{AD}\rp$,
$\lp\V{AB},\V{AC}\rp$
et $\lp\V{AD},\V{AC}\rp$.
\enen
\enex
\bgex
$A$, $B$ et $C$ sont trois points tels que
$AB=6$, $BC=5$ et $AC=9$.
\bgen
\item Montrer que $\V{AB}\cdot\V{AC}=AB^2+\V{AB}\cdot\V{BC}$.
\item En déduire la valeur de $\V{AB}\cdot\V{AC}$.
\item On note $E$ le point tel que $ABEC$ soit un parallélogramme.
Déterminer une valeur approchée de la longueur de la diagonale
$[AE]$.
\enen
\enex
\bgex
Dans le plan rapporté à un RON, on considère les points
$A(-1;5)$, $B(6;4)$ et $C(8;-4)$.
Calculer
$\V{AB}\cdot\V{AC}$,
$\V{AB}\cdot\V{BC}$
et
$\V{AC}\cdot\V{CB}$.
Déterminer une mesure, approchée à $10^{-1}$ près,
des angles $\widehat{BAC}$,
$\widehat{ABC}$ et
$\widehat{BCA}$.
\enex
\bgex
Dans le plan rapporté à un RON, on considère les points
$A(0;1)$, $B(-1;-6)$, $C(13;-8)$ et $D(-8;-5)$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ?
\enex
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
$ABCD$ est un carré de côté 1, et $E$ et $F$ sont deux points tels que
$\V{CE}=\dfrac32\V{CD}$ et $\V{BF}=\dfrac32\V{BC}$.
Démontrer que les droites $(AF)$ et $(BE)$ sont perpendiculaires:
\bgen
\item Par un calcul vectoriel.
\item En se plaçant dans le repère
$\lp B;\V{BC},\V{BA}\rp$.
%\item A l'aide de projections orthogonales.
\enen
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline(0,0)(3,4.5)(3,3)
\psline(0,3)(4.5,0)(3,0)
\rput(-0.3,3){$A$}
\rput(0,-0.3){$B$}
\rput(3,-0.3){$C$}
\rput(3.3,3){$D$}
\rput(4.5,-0.3){$F$}
\rput(3.3,4.5){$E$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-.3em}
\bgex
Le plan est rapporté à un RON $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
On considère les points
$A(1;-1)$, $B(3;3)$, $C(-4;4)$, $D(2;1)$, $E(17;12)$ et $F(5;6)$.
\bgen
\item Montrer que $(AB) \perp (CD)$.
\item A-t'on $(AB) /\!/ (EF)$ ?
\item Déterminer l'équation de la médiatrice de $[AB]$.
\item Déterminer l'équation de la droite $d$ perpendiculaire à $(AB)$
et passant par l'origine du repère.
\enen
\enex
\bgex
Le point $A(1;2)$ appartient-il au cercle $\mathcal{C}$ d'équation:
$x^2+y^2-4x-2y+3=0$ ?
Ce point $A$ appartient-il à la droite $d$ d'équation $y=2x$ ?
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $d$ et de
$\mathcal{C}$.
\enex
\bgex
On se place dans un RON $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$;
déterminer une équation du cercle:
\bgen
\item $\mathcal{C}_1$ de centre $A(-3;4)$ et de rayon $2$;
\item $\mathcal{C}_2$ de centre $B(-1;1)$ passant par $C(3;2)$;
\item $\mathcal{C}_3$ de diamètre $[OD]$ avec $D(0;2)$;
\item $\mathcal{C}_4$ de diamètre $[EF]$ avec $E(2;-1)$ et $F(-4;-1)$;
%\item $\mathcal{C}_5$ circonscrit au triangle $OMN$ avec
% $M(-3;2)$ et $N(4;6)$
%
% ({\sl Indication: quelle est la nature du triangle $OMN$}).
\enen
\enex
\bgex
Dans un RON $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, on donne les équations
suivantes. Pour chacune d'entre elle, dire s'il s'agit de l'équation
d'un cercle, et si oui, préciser son centre et son rayon.
\bgen
\item $x^2+y^2-2x+y+5=0$
\item $x^2+y^2-2x+4y+5=0$
\item $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$.
\item $x^2+y^2-2x-2y-2=0$
\item $(x-1)(x-3)+(y+2)(y-1)=0$
\item $x^2+y^2-2x-4y+7=0$
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle dont une équation
dans le RON $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ est:
$x^2+y^2-2x-2y-8=0$.
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de ce
cercle avec les axes du repère.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer l'équation du cercle $C$ de centre $A(-1;4)$ et tangent à
l'axe des abscisses.
\enex
\bgex
On donne le point $A(1;2)$ et la droite $d$ d'équation $x+2y=0$.
Démontrer que le cercle de centre $A$ passant par $O$ est tangent à
$d$.
\enex
\bgex
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ est un RON direct.
Soit $A$ et $B$ les points du cercle trigonométrique $\mathcal{C}$
associés aux angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.
\bgen
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ ?
\item
\bgen[a)]
\item Quelles sont les coordonnées de $A$ et $B$ ?
\item En déduire que
$\V{OA}\cdot\V{OB}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Justifier que $\V{OA}\cdot\V{OB}=\cos\dfrac{\pi}{12}$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}$,
puis vérifier que
$\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
\enen
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un carré.
On construit un rectangle $APQR$ tel que:
\vsp
$\bullet$\ $P$ et $R$ sont sur les côtés $[AB]$ et $[AD]$
\vsp
$\bullet$\ $AP=DR$.
\bgen
\item Justifier que:
$\V{CQ}\cdot\V{PR}=\V{CQ}\cdot\lp \V{AR}-\V{AP}\rp$.
\item En déduire que les droites $(CQ)$ et $(PR)$ sont
perpendiculaires.
\enen
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4)
\pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(4.2,-0.2){$B$}
\rput(4.,4.2){$C$}
\rput(-0.2,4.2){$D$}
%
\psplot{-0.5}{1.2}{-3 x mul 3 add}
\psplot{-0.5}{4.6}{1 3 div x mul 8 3 div add}
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(1,0)(1,3)(0,3)
\rput(1.2,-0.2){$P$}
\rput(-0.2,3){$R$}
\rput(1.,3.2){$Q$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{0.8cm}
\bgex On se place dans un RON, dans lequel on considère le triangle
$ABC$ avec $A(-1;2)$, $B(3;1)$ et $C(2;4)$.
\bgen
\item Déterminer une équation de la médiatrice de $[AB]$.
\item Déterminer une équation de la hauteur issue de $A$ dans le
triangle $ABC$.
\enen
\enex
\bgex Dans un RON, on donne $\Omega(2;-3)$.
\bgen
\item Déterminer l'équation du cercle $C$ de centre $\Omega$ et de
rayon $R=5$.
\item Démontrer que le point $A(-2;0)$ est un point du cercle $C$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la tangente en $A$ au
cercle $C$.
\enen
\enex
\bgex $ABCD$ est un rectangle tel que $AD=3$ et $AB=5$.
$E$ est le milieu de $[AB]$.
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgen
\item Calculer les longueurs $AC$ et $DE$.
\item En exprimant chacun des vecteurs $\V{AC}$ et $\V{DE}$ en
fonction des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AD}$, calculer le produit
scalaire $\V{AC}\cdot\V{DE}$.
\item En déduire la valeur de l'angle
$\tht=\lp\V{DE},\V{AC}\rp$ à $10^{-2}$ degré près.
\enen
\enmp\qquad
\bgmp[t]{6cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,3.5)(4,3.1)
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
\psplot{-0.3}{3}{-6 5 div x mul 3 add}
\psplot{-0.3}{5.3}{3 5 div x mul}
%
\rput(0,-0.3){$A$}
\rput(5.2,-0.2){$B$}
\rput(5.,3.2){$C$}
\rput(0.1,3.2){$D$}
\rput(2.3,-0.3){$E$}
%
\psarc(1.666,1){0.5}{-46}{30}\rput(2.4,1){$\tht$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex
\bgmp{10cm}
$ABCD$ et $AEFG$ sont deux carrés de côtés respectifs 6 cm et 4 cm.
$O$ est le milieu de $[GD]$.
Les droites $(OA)$ et $(EB)$ sont-elles perpendiculaires ?
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(6.5,6.5)
\pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6)
\pspolygon(0,0)(-4,0)(-4,-4)(0,-4)
\psline[linestyle=dashed](-4,0)(0,6)
\psline[linestyle=dashed](0,-4)(6,0)
\psplot{-2.5}{2.5}{-1.5 x mul}
\rput(0.5,0.5){$A$}
\rput(6.5,0){$B$}
\rput(6.1,6.5){$C$}
\rput(0,6.4){$D$}
\rput(-4.5,0){$G$}
\rput(-4,-4.5){$F$}
\rput(0,-4.5){$E$}
\rput(-2.7,2.8){$O$}
%\rput(2,-3){$H$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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