Source Latex: Cours de mathématiques en 1ère S


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Description
Cours de mathématiques - Dérivation des fonctions: dérivées et études de fonctions
Niveau
1ère S
Table des matières
  • Nombre dérivé en un point
  • Fonctions dérivées
    • Définition de la fonction dérivée
    • Dérivées des fonctions usuelles
    • Opérations sur les dérivées
  • Equation de la tangente
  • Applications de la dérivation
    • Sens de variation d'une fonction
    • Extrema d'une fonction
    • Résolution d'équations
  • Dérivée d'une fonction composé
Mots clé
dérivée, dérivation, étude de fonctions, sens de variation, cours de mathématiques, maths, 1S, 1ère S, première
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques 1ère S: Calcul différentiel, Dérivées},
    pdftitle={Calcul différentiel - Dérivation des fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S, 
      fonctions, dérivées, 
    }
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=25.8cm
\topmargin=-2.2cm
\footskip=0.7cm
\textwidth=18cm
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\parindent=0.2cm

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\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Propriétés \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul différentiel - Dérivation}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{ère}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}

\newcommand{\Cnp}[2]{%
  \mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\vspace{-0.4cm}


\section{Nombre dérivé en $a$ d'une fonction}

\noindent
\bgmp{9.cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction carré 
et $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 

On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\Cf$ d'abscisses
respectives $1$, $2$, $3$ et $4$. 

\bgen
\item Tracer sur une figure $\Cf$ et placer les points $A$, 
  $M_1$, $M_2$, $M_3$. 
\item Calculer les coefficients directeurs des droites 
  $(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$. 

\item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\Cf$ d'abscisse
  $1+h$. 

  Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite
  $(AM)$.  

\item Compléter le tableau: 
  \[\hspace*{-1cm}
  \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
    $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
    $m_h$ &&&&&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]

\item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ?
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1.,-2.)(4,16)
  \psline{->}(-2.2,0)(4.6,0)
  \psline{->}(0,-6.2)(0,19.6)
  \multido{\i=0+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.5){$\i$}
  }
  \multido{\i=-4+2}{12}{
    \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
    \rput(-0.3,\i){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-1.5}{4.5}{x 2 exp}
  \rput(-1.6,1.4){$\Cf$}
  %
  \rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$}
  %
  \rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$}
  \psplot{-0.3}{5}{x 5 mul 4 sub}
  %
  \rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$}
  \psplot{-0.5}{5}{x 4 mul 3 sub}
  %
  \rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$}
  \psplot{-0.8}{5}{x 3 mul 2 sub}
\end{pspicture}
\enmp

\vspt
\bgdef{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  $\bullet$\ 
  Pour tout nombre réel $a\in I$ non nul et tel que $(a+h)\in I$, 
  on appelle taux d'accroissement
  de la fonction $f$ en $a$, le nombre 
  \[
  \tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 
  \]

  \vspd
  $\bullet$
  On dit que la fonction $f$ est {\bf dérivable} en $a$, lorsque le
  taux d'accroissement $\tau(h)$ tend vers un nombre $L$ lorsque $h$
  tend vers $0$. 

  Ce nombre $L$, lorsqu'il existe, est appelé le nombre dérivé de $f$
  en $a$, et est noté $f'(a)$: 
  \[
  f'(a)
  =\lim_{h\to 0} \tau(h)
  =\lim_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 
  =L
  \]

  

  \vspd
  $\bullet$\ Le nombre dérivé $f'(a)$, lorsqu'il existe, 
  est le coefficient directeur de
  la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. 
}


\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac12 x^2-3$. 

\bgen
\item Tracer dans un repère orthogonal $\Cf$ et sa tangente au point
  d'abscisse $a=1$. 

  Déterminer alors graphiquement $f'(1)$. 

\item 
  \bgen[a)]
  \item Pour $h>0$, on pose $\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. 
    Compléter le tableau: 
    \[\hspace*{-1cm}
    \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
      $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
      $\tau(h)$ &&&&&& \\\hline
    \end{tabular}
    \]

    Vers quoi semble tendre le nombre $\tau(h)$ lorsque le nombre $h$
    tend vers $0$ ?  

  \item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression
    de $\tau(h)$ et de celle de $f$. 
  \enen
\enen
\enex

\bgex
Dans chaque cas, montrer que $f$ est dérivable au point
$a$ indiqué, et donner~$f'(a)$. 

\bgen[a)]
\item $f(x)=\dfrac1x$; $a=1$ 
\item $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$; $a=2$ 
\item $f(x)=x^2-2x$; $a=2$
\item $f(x)=x^2-2x$; $a\in\R$
\item $f(x)=x^3-3x$; $a=2$
\item $f(x)=x^3-3x$; $a\in\R$
\enen
\enex


\noindent
\bgmp{7cm}
\vspace{-4.cm}
\bgex
$\Cf$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. 

$T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\Cf$ aux points
d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. 

\vspt
Déterminer graphiquement $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$, puis les
équations de $T_1$, $T_2$ et $T_3$.  
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
  \multido{\i=-4+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-3+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(5.6,3.4){$\Cf$}
  %
  \psplot{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
  \psplot{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
  \psplot{-0.8}{5.1}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspace{-1.2cm}
\section{Fonctions dérivées}

\subsection{Fonction dérivée}
\vspace{-.4cm}

\bgdef{
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  $\bullet$ On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ admet un
  nombre dérivé en tout point de $I$, 
  c'est-à-dire si pour tout $a\in I$, $f'(a)$ existe.

  \vspd
  $\bullet$\ On appelle {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction notée $f'$
  qui, à tout $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$. 
}

\subsection{Dérivées des fonctions usuelles}
\vspace{-.4cm}

\bgprop{
  Toute fonction affine définie par $f(x)=mx+p$ est dérivable sur
  $\R$. 

  Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par 
  $f'(x)=m$. 
}

\bgproof{
  Pour tous $a\in\R$ et $h\not=0$, 
  \[
  \tau(h)
  =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
  =\dfrac{(m(a+h)+p)-(ma+p)}{h}
  =\dfrac{mh}{h}=m
  \]
  Ainsi, pour tout réel $a$, 
  $\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=m$. 

  \vspd
  La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R$ par
  $f'(x)=m$. 
}


\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Soit la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=-3x+12$, 
alors pour tout réel $x$, $f'(x)=-3$. 


\bgprop{
  La fonction carré, définie par $f(x)=x^2$, est dérivable sur $\R$. 

  Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par $f'(x)=2x$. 
}

\bgproof{
  Pour tous $a\in\R$ et $h\not=0$, 
  \[
  \tau(h)
  =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
  =\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}
  =\dfrac{2ah+h^2}{h}
  =2a+h
  \]
  Ainsi, pour tout réel $a$, 
  $\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=2a$. 

  \vspd
  La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R$ par
  $f'(x)=2x$. 
}

\bgprop{ 
  Pour tout entier naturel non nul $n$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par
  $f(x)=x^n$ est dérivable sur $\R$. 

  Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par 
  $f'(x)=nx^{n-1}$.
}

\bgproof{Un peu plus tard dans le cours\dots}


\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
$f(x)=x^{127}$ alors $f'(x)=127x^{126}$ 

\qquad\qquad $f(x)=x^{3}$ alors $f'(x)=3x^{2}$ 

\qquad\qquad $f(x)=x^2$, alors $f'(x)=2x$.

\bgprop{La fonction inverse $f$, définie sur $\R^*$ par 
  $f(x)=\dfrac1x$ est dérivable sur $\R^*$. 

  Sa fonction dérivée est définie sur $\R^*$ par 
  $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$. 
}

\bgproof{
  Pour tous $a\in\R^*$ et $h\not=0$, 
  \[
  \tau(h)
  =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
  =\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}
  =\dfrac{\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}
  =\dfrac{-\dfrac{h}{a(a+h)}}{h}
  =-\dfrac{1}{a(a+h)}
  \]
  Ainsi, pour tout réel $a$, 
  $\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$. 

  \vspd
  La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R^*$ par
  $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$. 
}


\bgprop{
  La fonction racine carrée, définie sur $\R_+=[0;+\infty[$ par
  $f(x)=\sqrt{x}$, est dérivable sur $\R_+^*=]0;+\infty[$. 

  Sa fonction dérivée est définie sur $\R_+^*$ par
  $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
}

\bgproof{
  Pour tous $a>0$ et $h$ tel que $a+h>0$, 
  \[\bgar{ll}
  \tau(h)
  &=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
  =\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h} \\[0.3cm]
  &=\dfrac{\lp\sqrt{a+h}-\sqrt{a}\rp\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp}{h\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp}
  =\dfrac{(a+h)-a}{h\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp} \\[0.3cm]
  &=\dfrac{h}{h\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp} 
  =\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
  \enar\]
  Ainsi, pour tout réel $a>0$, 
  $\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$. 

  \vspd
  La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R^*_+$ par
  $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. 
}

\subsection{Opérations sur les dérivées}

\bgprop{
  Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$ et $k\in\R$, 
  alors la fonction $f=ku$ est dérivable sur $I$, avec,
  $f'=ku'$.
}

\bgproof{
  Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$, 
  \[
  \tau(h)
  =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
  =\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}
  =k\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}
  \]
  Or, comme $u$ est dérivable en $a$, on a 
  $\dsp\lim_{h\to0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$, 
  et donc 
  $\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=ku'(a)$.
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2$. 

Alors, $f=3u$, où $u$ est la fonction carré, dérivable sur $\R$ avec, 
pour tout $x\in\R$, $u'(x)=2x$. 

Ainsi, $f$ est dérivable sur $\R$, 
avec, $f'=3u'$, 
soit, pour tout $x\in\R$, 
$f'(x)=3\tm 2x=6x$. 



\bgprop{
  Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, alors la somme
  $u+v$ est dérivable sur $I$ avec 
  $\lp u+v\rp'=u'+v'$. 
}

\bgproof{
  Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$, 
  \[\bgar{ll}
  \tau(h)
  &=\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}
  =\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-\lp u(a)+v(a)\rp}{h} \\[0.3cm]
  &=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}
  \enar\]
  Or, comme $u$ et $v$ sont dérivables en $a$, 
  $\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$, 
  et $\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$. 

  Ainsi, 
  $\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=u'(a)+v'(a)$.  
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit $f$ définie sur $\R^*$ par 
$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$. 

Alors $f=u+v$, où $u(x)=x^2$ et $v(x)=\dfrac{1}{x}$ sont dérivable sur
$\R^*$ avec $u'(x)=2x$ et $v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$. 

Ainsi, pour tout $x\in\R^*$, 
$f'(x)=u'(x)+v'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}$. 

\bgprop{
  Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, alors la fonction
  produit $uv$ est dérivable sur $I$, 
  avec $(uv)'=u'v+uv'$. 
}

\bgproof{
  Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$, 
  \[\bgar{ll}
  \tau(h)
  &=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}
  =\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h} \\[0.3cm]
  &=\dfrac{\Bigl(u(a+h)-u(a)\Bigr)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}
  \\[0.3cm]
  &=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)
  +\dfrac{u(a)\Bigl( v(a+h)-v(a)\Bigr)}{h} \\[0.3cm]
  &=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)+u(a)\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}
  \enar\]
  Or, comme $u$ et $v$ sont dérivables en $a$, 
  $\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$, 
  et $\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$, 

  et on a donc 
  $\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=u'a)v(a)+u(a)v'(a)$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=(2x+1)(-x+3)$. 

Calculer de deux manières différentes $f'$. 

\bgprop{ 
  Pour tout entier naturel non nul $n$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par
  $f(x)=x^n$ est dérivable sur $\R$. 

  Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par 
  $f'(x)=nx^{n-1}$.
}


\bgproof{
  On cherche à démontrer que la propriété est vraie pour 
  {\bf tous les entiers naturels~$n$}. 

  On sait déjà que cette propriété est vraie pour 
  \bgit
  \item[$\bullet$] {\bf $n=1$}: $f(x)=x^1=x$ a pour dérivée 
    $f'(x)=1=1x^0=1x^{1-1}$. 
  \item[$\bullet$] {\bf $n=2$}: $f(x)=x^2$ a pour dérivée 
    $f'(x)=2x=2x^1=2x^{2-1}$. 
  \enit

  \vspd
  Pour $n=3$, on peut écrire $f(x)=x^3$ comme un produit 
  $f(x)=x^3=x\tm x^2$, et on a alors 
  $f'(x)=1\tm x^2 + x\tm (2x)=3x^2=3x^{3-1}$ et la formule est encore
  vraie. 

  De même, pour $n=4$, 
  $f(x)=x^4=x\tm x^3$, et donc, 
  $f'(x)=1\tm x^3+x\tm(3x^2)=4x^3=4x^{4-1}$. 

  \vspd
  On cherche à généraliser et montrer que cette formule est vraie pour tous
  les entiers non nuls. 
  Supposons que cette formule soit vraie pour un certain entier
  naturel non nul $n$, 
  c'est-à-dire que la dérivée de $f(x)=x^n$ soit $f'(x)=nx^{n-1}$. 

  \vsp
  Alors pour l'entier suivant $(n+1)$, $f(x)=x^{n+1}=x\tm x^n$ a pour
  dérivée 
  $f'(x)=1\tm x^{n}+x\tm\lp nx^{n-1}\rp
  =x^n+nx^n=(n+1)x^n=(n+1)x^{(n+1)-1}$. 

  Ainsi, si la formule est vraie pour un certain entier $n$, elle est
  encore vraie pour l'entier suivant $(n+1)$. 

  Or, on a vu que cette formule est vraie pour l'entier $n=1$, 
  elle est donc encore vraie pour l'entier suivant $n=2$, 
  et donc aussi pour l'entier suivant $n=3$, puis aussi pour $n=4$, 
  $n=5$, $n=6$, \dots

  Finalement cette formule est vraie pour tous les entiers naturels à
  partir de $1$. 

  \vspd
  Cette démonstration s'appelle une démonstration par 
  {\bf récurrence}. 
}


\bgprop{
  Soit une fonction $u$ dérivable sur $I$ telle que 
  $u(x)\not=0$ pour tout $x\in I$. 

  Alors la fonction $\dfrac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ avec 
  $\lp\dfrac{1}{u}\rp'=-\dfrac{u'}{u^2}$. 
}

\bgproof{
  Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$, 
  \[
  \tau(h)
  =\dfrac{\dfrac{1}{u(a+h)}-\dfrac{1}{u(a)}}{h}
  =\dfrac{\dfrac{u(a)-u(a+h)}{u(a+h)u(a)}}{h}
  =\dfrac{u(a)-u(a+h)}{h}\tm \dfrac{1}{u(a+h)u(a)}
  \]
  Or, comme $u$ est dérivable en $a$, 
  $\dsp\lim_{h\to0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$, 
  et donc, 
  $\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=-u'(a)\tm\dfrac{1}{\lp u(a)\rp^2}$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur
$\R\setminus\la-\dfrac12\ra$ par 
$f(x)=\dfrac{1}{2x+1}$. 


\bgprop{Soit $u $et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, tel que
  pour tout $x\in I$, $v(x)\not=0$. 
  
  Alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$, avec 
  $\lp\dfrac{u}{v}\rp'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. 
}

\bgproof{
  On peut écrire $\dfrac{u}{v}=u\tm\dfrac{1}{v}$, 
  et on a donc, en utilisant la dérivée d'un produit, 
  et la dérivée de l'inverse d'une fonction: 
  \[
  \lp\dfrac{u}{v}\rp'
  =\lp u\tm\dfrac{1}{v}\rp'
  =u'\tm\dfrac{1}{v}+u\tm\lp\dfrac{1}{v}\rp'
  =\dfrac{u'}{v}+u\tm\lp-\dfrac{v'}{v^2}\rp
  =\dfrac{u'v}{v^2}-\dfrac{uv'}{v^2}
  =\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
  \]
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Calculer la dérivée de $f$ définie sur $\R\setminus\la2\ra$ 
par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}$


%\clearpage
\vspq%\vspace{1cm}
\ct{\Large\ul{Dérivées des fonctions usuelles}}
%\vspq


\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction $f$} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
  \bgmp{2.4cm}
  $f$ est définie sur 
  \enmp 
}&
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
  \bgmp{2.65cm}
  $f$ est dérivable sur 
  \enmp 
}
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=k$ (constante)} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=0$} & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline 

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=x$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=1$}  & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=ax$, $a\in\R$} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=a$} &
%\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^2$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=2x$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^n$\ \ ($n\in\N$)} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=nx^{n-1}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$f(x)=\dfrac{1}{x}$} & 
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$}} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f(x)=\sqrt{x}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+=[0;+\infty[$} & 
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+^*=]0;+\infty[$} 
\\\hline

\end{tabular}
\end{center}

\vspd
\ct{\Large\ul{Opérations sur les dérivées}}
\vspd

\noindent
$u$ et $v$ désignent deux fonctions quelconques, définies et
dérivables sur un intervalle $I$. 

%\vspd
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $k\in\R$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$} 
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$}  
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$}  
\\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$}  
\\\hline 

%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^2$} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$2u'u$} \\\hline
%
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^n$ ($n\in\N$)} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$nu'u^{n-1}$} \\\hline
%
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{u}$} &
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp -\frac{u'}{u^2}$} \\\hline
%
%$\sqrt{u}$ & $\dsp\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ \\\hline
%
%\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u(v(x))$} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$v'(x)\tm u'(v(x))$}
%\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspq
\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas: 

\begin{tabular}{llll}
  a) $f(x)=3$
  &b) $f(x)=3x$ 
  &c) $f(x)=\dfrac52 x$
  &d) $f(x)=x^2$
  \\[0.4cm]
  e) $f(x)=x^7$ 
  &f) $f(x)=2x^3$
  &g) $f(x)=3x+2$
  &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
  \\[0.4cm]
  i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
  &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
  &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
  &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
  \\[0.4cm]
  m) $f(x)=\dfrac{1}{x^4}$
  &n) $f(x)=2x^5+\sqrt{x}$ 
  &o) $f(x)=(3x+2)x^2$
  &p) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
\end{tabular}
\enex

\section{Equation de la tangente} 

\bgth{
  Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, et
  $\alpha\in I$. 

  Alors, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative
  $\Cf$ de $f$ au point d'abscisse $\alpha$ est: 
  \[
  y=f'(\alpha)\lp x-\alpha\rp +f(\alpha)\ .  
  \]
}


\bgproof{
  Comme $f$ est dérivable en $\alpha$, 
  la tangente à $\Cf$ a une équation réduite de la forme 
  $y=f'(\alpha)x+p$. 
  De plus, cette tangente passe par le point
  $A\lp\alpha;f\lp\alpha\rp\rp$ et donc, 
  $f(\alpha)=f'(\alpha)\alpha+p
  \iff
  p=f(\alpha)-f'(\alpha)\alpha
  $. 

  Ainsi la tangente a pour équation:\quad 
  $y=f'(\alpha)x+f(\alpha)-f'(\alpha)\alpha
  =f'(\alpha)\lp x-\alpha\rp +f(\alpha)\ .  
  $
}

\bgex
Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à $\Cf$ au
point $a$ donné:
\bgen[a)] 
\item $f(x)=3x^2+5x-2$ et $a=-2$ 
\item $f(x)=\dfrac{1}{2}\lp -3+x+x^2\rp$ et $a=4$. 
\item $f(x)=(2x+1)^2$ et $a=0$. 
\enen
\enex


\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=-2x^2+4x$, 
et $\Cf$ est sa courbe représentative. 

\bgen
\item Donner une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point $A$
  d'abscisse $3$. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Etudier le signe de $f(x)-(-8x+18)$. 
  \item En déduire la position relative de $\Cf$ par rapport à $T$. 
  \enen
\enen
\enex


\bgex
\bgen 
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ et $\Cf$ sa 
  courbe représentative. 

  Montrer que la tangente à $\Cf$ au point $A$ d'abscisse $a$ passe
  par l'origine du repère si et seulement si 
  $f(a)=af'(a)$. 

\item Soit $f$ définie sur $\R$ par 
  $f(x)=2x^2-3x+1$. 

  Quels sont les points de $\Cf$ en lesquels la tangente passe par
  l'origine. 
\enen
\enex







\section{Applications de la dérivation}

\subsection{Sens de variation d'une fonction}

\noindent
\bgmp{8cm}
On a vu que le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
la tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a$; 
ainsi 

\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item si $f'(a)>0$, la tangente est une droite strictement croissante,
  et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 

\vspd
\item si $f'(a)<0$, la tangente est une droite strictement décroissante,
  et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 
\enen
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.)(4,5.3)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-2.2)(0,5.2)
  %\multido{\i=-4+1}{10}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  %}
  %\multido{\i=-3+1}{8}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  %}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(4.8,3.4){$\Cf$}
  %
  \psplot{-4}{-0.5}{-2 x mul -3 add}
  \psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,3)%(0,3)
  \rput(-3,-0.3){$a$}\rput(-1.7,3){$f'(a)<0$}
  %
  \psplot{-3.5}{3.4}{-1}
  \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1)
  \rput(1,0.2){$a$}\rput(1,-1.3){$f'(a)=0$}
  %
  \psplot{1.8}{6.1}{1.5 x mul -19 4 div add}
  \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.25)
  \rput(4,-0.3){$a$}\rput(5.2,1.3){$f'(a)>0$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgth{
  Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 
  \bgen[$\bullet$]
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement
    croissante sur $I$. 
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement
    décroissante sur $I$. 
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur
    $I$. 
  \enen
}

\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice 5
et des fonctions suivantes: 

\vspd\noindent
\begin{tabular}{llll}
  q) $f(x)=2x^2+4x-3$ 
  &r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
  &s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
  &t) $f(x)=\dfrac{3}{x+3}-\dfrac{2}{x+2}$

\end{tabular}
\enex

\bgex
$f$ est la fonction définie par l'expression
$f(x)=\dfrac{1}{-2x^2+4x-3}$.  

\bgen
\item On définie la fonction $g$ sur $\R$ par 
  l'expression $g(x)=-2x^2+4x-3$. 

  Etudier les variations de $g$. 

\item En déduire les variations de $f$ puis le minimum de $f$ sur
  $\R$.  
\enen
\enex

\subsection{Extrema d'une fonction}


\bgdef{
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  $\bullet$ Un {\bf extremum} est un minimum ou un maximum. 

  \vsp
  $\bullet$ $f$ présente un {\bf maximum local} $m=f(x_0)$ si il
  existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
  $f(x)\leqslant f(x_0)$.  

  \vsp
  $\bullet$ $f$ présente un {\bf minimum local} $m=f(x_0)$ si il
  existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
  $f(x)\geqslant f(x_0)$.  

  \vsp
  $\bullet$ L'extremum est dit {\bf global} lorsque $J=I$.
}

\bgth{
  Si $f(x_0)$ est un extremum local sur l'intervalle $]a;b[$, 
  alors $f'(x_0)=0$. 

  La courbe $\Cf$ représentative de la fonction $f$ admet une tangente
  horizontale au point $\lp x_0\ ;\ f\lp x_0\rp \rp$.
}


\vspd\noindent
\ul{Remarque:} 
Ce théorème dit que:\ \ 
$f(x_0)$ extremum local $\Longrightarrow$ $f'(x_0)=0$. 


La réciproque: \ \ 
$f'(x_0)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x_0)$ extremum local est FAUSSE. 

\vspd
Par exemple, soit $f(x)=x^3$. 
Alors $f'(x)=3x^2$ et $f'(x)=0\iff x=0$. 
Ainsi, $f'(0)=0$. 
Néanmoins $f(0)$ n'est ni un minimum ni un maximum  local de $f$ car 
pour $x<0$, $f(x)=x^3<0=f(0)$ et pour $x>0$, $f(x)=x^3>0=f(0)$. 

\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{4x^2+1}$. 

\bgen
\item A l'aide de la calculatrice tracer $\Cf$ et localiser le maximum
  de $f$. 
\item Vérifier par le calcul s'il s'agit bien d'un maximum de $f$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
$f(x)=-x^3+6x^2-10$. 

\vsp
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. 
\enex


\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. 

Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$. 
Est-ce un minimum ou un maximum ?
\enex

\noindent
\bgmp{13.3cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline 
  &&& 4 &&\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\
  & $-1$ && && 3  \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-4;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline 
  &&& $0$ && && $3$\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && 
  \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
  \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
  $0$&\\
  & $-7$ && && $-1$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
vitesse $v$, 
pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, 
par l'expression 
\[
C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
\]

A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale
? 

\enex


\subsection{Résolution d'équations}

\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires} 

  Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle
  $[a;b]$ telle que 

  \bgen[$\bullet$]
  \item $f$ est dérivable sur $[a;b]$ 
  \item $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ 
  \item $f(a)<k<f(b)$ ou $f(a)>k>f(b)$ 
  \enen

  alors, il existe un unique $\alpha\in]a;b[$ tel que $f(\alpha)=k$. 
}

\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le
tableau de variation est le suivant: 
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline 
  &&& 4 &&&& 10\\
  $f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} &&
  \Large{${\nearrow}$} & \\
  & 1 && && -3 && \\\hline
\end{tabular}
\]

Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle où elles se situent,
de l'équation 

a) $f(x)=0$ \hspace{2cm}
b) $f(x)=2$ \hspace{2cm}
c) $f(x)=-5$
\enex

\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3+x+1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
$[-3;2]$. 

Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. 
\enex


\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3-3x-1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$,  $]-1;1[$ et $]1;2[$. 

Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
solutions.  
\enex

\section{Exercices}

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
La trajectoire d'un mobile est portée par la courbe $\mathcal{C}$
d'équation $y=\dfrac{1}{t}$ dans un repère orthonormé. 

On admet que lorsqu'il quitte sa trajectoire en $M$, le mobile
poursuit son mouvement en ligne droite sur la tangente à $\mathcal{C}$
en $M$. 

A quel endroit doit-il quitter sa trajectoire pour passer par le point
$A(4;0)$ ?
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(-1,0)(5.5,0)\rput(5.6,-0.2){$t$}
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(0,5.8)\rput(-0.2,5.7){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0.18}{5}{1 x div}
  \rput(0.4,4.8){$\mathcal{C}$}
  \psline[arrowsize=10pt,arrowinset=0.5,arrowlength=1.3]{->}(0.4,2.5)(0.41,2.44)
  \psline[arrowsize=10pt,arrowinset=0.5,arrowlength=1.3]{->}(0.2,5)(0.21,4.94)
  %
  \psplot{1}{5}{-0.25 x 2 sub mul 0.5 add}
  \rput(2,0.46){$\bullet$}\put(2,0.7){$M$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par \ \ 
$f(x)=4x^2-6x+2$. 

Montrer que la courbe $\Cf$ représentative de $f$ est toujours au dessus de
n'importe laquelle de ses tangentes. 
\enex

\bgex
{\sl On dit que deux paraboles sont tangentes entre elles lorsqu'elles
  ont un point commun $A$ et une tangente commune en $A$.}

\vspt

A tout nombre $m\not=0$, on associe la parabole 
$\mathcal{P}_m$ d'équation \ \ 
$y=mx^2+(1-2m)x+m$. 

Montrer que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles. 
\enex

\section{Dérivée d'une fonction composée}

\bgprop{(Admise)

  Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables $\R$, 
  et $f=u\circ v$, 
  c'est-à-dire, 
  pour tout $x\in\R$, 
  $f(x)=u\lp v(x)\rp$. 

  Alors $f$ est dérivable sur $\R$ avec, 
  $f'=v'\tm u'\circ v$, 
  c'est-à-dire 
  pour tout $x\in\R$, 
  $f'(x)=v'(x)\tm u'\lp v(x)\rp$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. 
Alors $f=u\circ v$, avec 
$u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=x^2+1$. 

On a alors 
$f'(x)=v'(x)\tm u'\lp v(x)\rp
=2x\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}
=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}
$.

\label{LastPage}
\end{document}

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