Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques 1ère S: Calcul différentiel, Dérivées},
pdftitle={Calcul différentiel - Dérivation des fonctions},
pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
fonctions, dérivées,
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=25.8cm
\topmargin=-2.2cm
\footskip=0.7cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
\settowidth{\lprops}{Propriétés \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul différentiel - Dérivation}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{ère}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}
\newcommand{\Cnp}[2]{%
\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\vspace{-0.4cm}
\section{Nombre dérivé en $a$ d'une fonction}
\noindent
\bgmp{9.cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction carré
et $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\Cf$ d'abscisses
respectives $1$, $2$, $3$ et $4$.
\bgen
\item Tracer sur une figure $\Cf$ et placer les points $A$,
$M_1$, $M_2$, $M_3$.
\item Calculer les coefficients directeurs des droites
$(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$.
\item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\Cf$ d'abscisse
$1+h$.
Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite
$(AM)$.
\item Compléter le tableau:
\[\hspace*{-1cm}
\begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
$h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
$m_h$ &&&&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ?
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1.,-2.)(4,16)
\psline{->}(-2.2,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-6.2)(0,19.6)
\multido{\i=0+1}{5}{
\psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
\rput(\i,-0.5){$\i$}
}
\multido{\i=-4+2}{12}{
\psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
\psplot[linewidth=1.4pt]{-1.5}{4.5}{x 2 exp}
\rput(-1.6,1.4){$\Cf$}
%
\rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$}
%
\rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$}
\psplot{-0.3}{5}{x 5 mul 4 sub}
%
\rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$}
\psplot{-0.5}{5}{x 4 mul 3 sub}
%
\rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$}
\psplot{-0.8}{5}{x 3 mul 2 sub}
\end{pspicture}
\enmp
\vspt
\bgdef{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
$\bullet$\
Pour tout nombre réel $a\in I$ non nul et tel que $(a+h)\in I$,
on appelle taux d'accroissement
de la fonction $f$ en $a$, le nombre
\[
\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
\vspd
$\bullet$
On dit que la fonction $f$ est {\bf dérivable} en $a$, lorsque le
taux d'accroissement $\tau(h)$ tend vers un nombre $L$ lorsque $h$
tend vers $0$.
Ce nombre $L$, lorsqu'il existe, est appelé le nombre dérivé de $f$
en $a$, et est noté $f'(a)$:
\[
f'(a)
=\lim_{h\to 0} \tau(h)
=\lim_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=L
\]
\vspd
$\bullet$\ Le nombre dérivé $f'(a)$, lorsqu'il existe,
est le coefficient directeur de
la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac12 x^2-3$.
\bgen
\item Tracer dans un repère orthogonal $\Cf$ et sa tangente au point
d'abscisse $a=1$.
Déterminer alors graphiquement $f'(1)$.
\item
\bgen[a)]
\item Pour $h>0$, on pose $\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Compléter le tableau:
\[\hspace*{-1cm}
\begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
$h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
$\tau(h)$ &&&&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
Vers quoi semble tendre le nombre $\tau(h)$ lorsque le nombre $h$
tend vers $0$ ?
\item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression
de $\tau(h)$ et de celle de $f$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Dans chaque cas, montrer que $f$ est dérivable au point
$a$ indiqué, et donner~$f'(a)$.
\bgen[a)]
\item $f(x)=\dfrac1x$; $a=1$
\item $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$; $a=2$
\item $f(x)=x^2-2x$; $a=2$
\item $f(x)=x^2-2x$; $a\in\R$
\item $f(x)=x^3-3x$; $a=2$
\item $f(x)=x^3-3x$; $a\in\R$
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{7cm}
\vspace{-4.cm}
\bgex
$\Cf$ est la courbe représentative d'une fonction $f$.
$T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\Cf$ aux points
d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$.
\vspt
Déterminer graphiquement $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$, puis les
équations de $T_1$, $T_2$ et $T_3$.
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
\psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
\psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
}
\multido{\i=-3+1}{8}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
}
\psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
\rput(5.6,3.4){$\Cf$}
%
\psplot{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
\psplot{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
\psplot{-0.8}{5.1}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-1.2cm}
\section{Fonctions dérivées}
\subsection{Fonction dérivée}
\vspace{-.4cm}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
$\bullet$ On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ admet un
nombre dérivé en tout point de $I$,
c'est-à-dire si pour tout $a\in I$, $f'(a)$ existe.
\vspd
$\bullet$\ On appelle {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction notée $f'$
qui, à tout $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$.
}
\subsection{Dérivées des fonctions usuelles}
\vspace{-.4cm}
\bgprop{
Toute fonction affine définie par $f(x)=mx+p$ est dérivable sur
$\R$.
Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par
$f'(x)=m$.
}
\bgproof{
Pour tous $a\in\R$ et $h\not=0$,
\[
\tau(h)
=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{(m(a+h)+p)-(ma+p)}{h}
=\dfrac{mh}{h}=m
\]
Ainsi, pour tout réel $a$,
$\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=m$.
\vspd
La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R$ par
$f'(x)=m$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=-3x+12$,
alors pour tout réel $x$, $f'(x)=-3$.
\bgprop{
La fonction carré, définie par $f(x)=x^2$, est dérivable sur $\R$.
Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par $f'(x)=2x$.
}
\bgproof{
Pour tous $a\in\R$ et $h\not=0$,
\[
\tau(h)
=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}
=\dfrac{2ah+h^2}{h}
=2a+h
\]
Ainsi, pour tout réel $a$,
$\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=2a$.
\vspd
La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R$ par
$f'(x)=2x$.
}
\bgprop{
Pour tout entier naturel non nul $n$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=x^n$ est dérivable sur $\R$.
Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par
$f'(x)=nx^{n-1}$.
}
\bgproof{Un peu plus tard dans le cours\dots}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
$f(x)=x^{127}$ alors $f'(x)=127x^{126}$
\qquad\qquad $f(x)=x^{3}$ alors $f'(x)=3x^{2}$
\qquad\qquad $f(x)=x^2$, alors $f'(x)=2x$.
\bgprop{La fonction inverse $f$, définie sur $\R^*$ par
$f(x)=\dfrac1x$ est dérivable sur $\R^*$.
Sa fonction dérivée est définie sur $\R^*$ par
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
}
\bgproof{
Pour tous $a\in\R^*$ et $h\not=0$,
\[
\tau(h)
=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}
=\dfrac{\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}
=\dfrac{-\dfrac{h}{a(a+h)}}{h}
=-\dfrac{1}{a(a+h)}
\]
Ainsi, pour tout réel $a$,
$\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$.
\vspd
La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R^*$ par
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
}
\bgprop{
La fonction racine carrée, définie sur $\R_+=[0;+\infty[$ par
$f(x)=\sqrt{x}$, est dérivable sur $\R_+^*=]0;+\infty[$.
Sa fonction dérivée est définie sur $\R_+^*$ par
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
}
\bgproof{
Pour tous $a>0$ et $h$ tel que $a+h>0$,
\[\bgar{ll}
\tau(h)
&=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h} \\[0.3cm]
&=\dfrac{\lp\sqrt{a+h}-\sqrt{a}\rp\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp}{h\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp}
=\dfrac{(a+h)-a}{h\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp} \\[0.3cm]
&=\dfrac{h}{h\lp\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\rp}
=\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
\enar\]
Ainsi, pour tout réel $a>0$,
$\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
\vspd
La fonction dérivée de $f$ est donc la fonction définie sur $\R^*_+$ par
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
}
\subsection{Opérations sur les dérivées}
\bgprop{
Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$ et $k\in\R$,
alors la fonction $f=ku$ est dérivable sur $I$, avec,
$f'=ku'$.
}
\bgproof{
Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$,
\[
\tau(h)
=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}
=k\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}
\]
Or, comme $u$ est dérivable en $a$, on a
$\dsp\lim_{h\to0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$,
et donc
$\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=f'(a)=ku'(a)$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2$.
Alors, $f=3u$, où $u$ est la fonction carré, dérivable sur $\R$ avec,
pour tout $x\in\R$, $u'(x)=2x$.
Ainsi, $f$ est dérivable sur $\R$,
avec, $f'=3u'$,
soit, pour tout $x\in\R$,
$f'(x)=3\tm 2x=6x$.
\bgprop{
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, alors la somme
$u+v$ est dérivable sur $I$ avec
$\lp u+v\rp'=u'+v'$.
}
\bgproof{
Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$,
\[\bgar{ll}
\tau(h)
&=\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}
=\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-\lp u(a)+v(a)\rp}{h} \\[0.3cm]
&=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}
\enar\]
Or, comme $u$ et $v$ sont dérivables en $a$,
$\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$,
et $\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$.
Ainsi,
$\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=u'(a)+v'(a)$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit $f$ définie sur $\R^*$ par
$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$.
Alors $f=u+v$, où $u(x)=x^2$ et $v(x)=\dfrac{1}{x}$ sont dérivable sur
$\R^*$ avec $u'(x)=2x$ et $v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
Ainsi, pour tout $x\in\R^*$,
$f'(x)=u'(x)+v'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}$.
\bgprop{
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, alors la fonction
produit $uv$ est dérivable sur $I$,
avec $(uv)'=u'v+uv'$.
}
\bgproof{
Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$,
\[\bgar{ll}
\tau(h)
&=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}
=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h} \\[0.3cm]
&=\dfrac{\Bigl(u(a+h)-u(a)\Bigr)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}
\\[0.3cm]
&=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)
+\dfrac{u(a)\Bigl( v(a+h)-v(a)\Bigr)}{h} \\[0.3cm]
&=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)+u(a)\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}
\enar\]
Or, comme $u$ et $v$ sont dérivables en $a$,
$\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$,
et $\dsp\lim_{h\to0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$,
et on a donc
$\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=u'a)v(a)+u(a)v'(a)$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=(2x+1)(-x+3)$.
Calculer de deux manières différentes $f'$.
\bgprop{
Pour tout entier naturel non nul $n$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=x^n$ est dérivable sur $\R$.
Sa fonction dérivée est définie sur $\R$ par
$f'(x)=nx^{n-1}$.
}
\bgproof{
On cherche à démontrer que la propriété est vraie pour
{\bf tous les entiers naturels~$n$}.
On sait déjà que cette propriété est vraie pour
\bgit
\item[$\bullet$] {\bf $n=1$}: $f(x)=x^1=x$ a pour dérivée
$f'(x)=1=1x^0=1x^{1-1}$.
\item[$\bullet$] {\bf $n=2$}: $f(x)=x^2$ a pour dérivée
$f'(x)=2x=2x^1=2x^{2-1}$.
\enit
\vspd
Pour $n=3$, on peut écrire $f(x)=x^3$ comme un produit
$f(x)=x^3=x\tm x^2$, et on a alors
$f'(x)=1\tm x^2 + x\tm (2x)=3x^2=3x^{3-1}$ et la formule est encore
vraie.
De même, pour $n=4$,
$f(x)=x^4=x\tm x^3$, et donc,
$f'(x)=1\tm x^3+x\tm(3x^2)=4x^3=4x^{4-1}$.
\vspd
On cherche à généraliser et montrer que cette formule est vraie pour tous
les entiers non nuls.
Supposons que cette formule soit vraie pour un certain entier
naturel non nul $n$,
c'est-à-dire que la dérivée de $f(x)=x^n$ soit $f'(x)=nx^{n-1}$.
\vsp
Alors pour l'entier suivant $(n+1)$, $f(x)=x^{n+1}=x\tm x^n$ a pour
dérivée
$f'(x)=1\tm x^{n}+x\tm\lp nx^{n-1}\rp
=x^n+nx^n=(n+1)x^n=(n+1)x^{(n+1)-1}$.
Ainsi, si la formule est vraie pour un certain entier $n$, elle est
encore vraie pour l'entier suivant $(n+1)$.
Or, on a vu que cette formule est vraie pour l'entier $n=1$,
elle est donc encore vraie pour l'entier suivant $n=2$,
et donc aussi pour l'entier suivant $n=3$, puis aussi pour $n=4$,
$n=5$, $n=6$, \dots
Finalement cette formule est vraie pour tous les entiers naturels à
partir de $1$.
\vspd
Cette démonstration s'appelle une démonstration par
{\bf récurrence}.
}
\bgprop{
Soit une fonction $u$ dérivable sur $I$ telle que
$u(x)\not=0$ pour tout $x\in I$.
Alors la fonction $\dfrac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ avec
$\lp\dfrac{1}{u}\rp'=-\dfrac{u'}{u^2}$.
}
\bgproof{
Pour tout $a\in I$ et $h\not=0$ tel que $(a+h)\in I$,
\[
\tau(h)
=\dfrac{\dfrac{1}{u(a+h)}-\dfrac{1}{u(a)}}{h}
=\dfrac{\dfrac{u(a)-u(a+h)}{u(a+h)u(a)}}{h}
=\dfrac{u(a)-u(a+h)}{h}\tm \dfrac{1}{u(a+h)u(a)}
\]
Or, comme $u$ est dérivable en $a$,
$\dsp\lim_{h\to0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$,
et donc,
$\dsp\lim_{h\to0} \tau(h)=-u'(a)\tm\dfrac{1}{\lp u(a)\rp^2}$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur
$\R\setminus\la-\dfrac12\ra$ par
$f(x)=\dfrac{1}{2x+1}$.
\bgprop{Soit $u $et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, tel que
pour tout $x\in I$, $v(x)\not=0$.
Alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$, avec
$\lp\dfrac{u}{v}\rp'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
}
\bgproof{
On peut écrire $\dfrac{u}{v}=u\tm\dfrac{1}{v}$,
et on a donc, en utilisant la dérivée d'un produit,
et la dérivée de l'inverse d'une fonction:
\[
\lp\dfrac{u}{v}\rp'
=\lp u\tm\dfrac{1}{v}\rp'
=u'\tm\dfrac{1}{v}+u\tm\lp\dfrac{1}{v}\rp'
=\dfrac{u'}{v}+u\tm\lp-\dfrac{v'}{v^2}\rp
=\dfrac{u'v}{v^2}-\dfrac{uv'}{v^2}
=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
\]
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Calculer la dérivée de $f$ définie sur $\R\setminus\la2\ra$
par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}$
%\clearpage
\vspq%\vspace{1cm}
\ct{\Large\ul{Dérivées des fonctions usuelles}}
%\vspq
\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction $f$} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
\bgmp{2.4cm}
$f$ est définie sur
\enmp
}&
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
\bgmp{2.65cm}
$f$ est dérivable sur
\enmp
}
\tabularnewline\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=k$ (constante)} &
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=0$} &
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=x$} &
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=1$} &
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=ax$, $a\in\R$} &
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=a$} &
%\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^2$} &
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=2x$} &
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^n$\ \ ($n\in\N$)} &
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=nx^{n-1}$} &
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline
\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$f(x)=\dfrac{1}{x}$} &
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$} &
\multicolumn{2}{c|}{
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$}} \\\hline
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f(x)=\sqrt{x}$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+=[0;+\infty[$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+^*=]0;+\infty[$}
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspd
\ct{\Large\ul{Opérations sur les dérivées}}
\vspd
\noindent
$u$ et $v$ désignent deux fonctions quelconques, définies et
dérivables sur un intervalle $I$.
%\vspd
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée}
\tabularnewline\hline
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $k\in\R$} &
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} &
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} &
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$}
\\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} &
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$}
\\\hline
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^2$} &
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$2u'u$} \\\hline
%
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^n$ ($n\in\N$)} &
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$nu'u^{n-1}$} \\\hline
%
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{u}$} &
%\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp -\frac{u'}{u^2}$} \\\hline
%
%$\sqrt{u}$ & $\dsp\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ \\\hline
%
%\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u(v(x))$} &
%\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$v'(x)\tm u'(v(x))$}
%\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspq
\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas:
\begin{tabular}{llll}
a) $f(x)=3$
&b) $f(x)=3x$
&c) $f(x)=\dfrac52 x$
&d) $f(x)=x^2$
\\[0.4cm]
e) $f(x)=x^7$
&f) $f(x)=2x^3$
&g) $f(x)=3x+2$
&h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
\\[0.4cm]
i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
&j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
&k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
&l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
\\[0.4cm]
m) $f(x)=\dfrac{1}{x^4}$
&n) $f(x)=2x^5+\sqrt{x}$
&o) $f(x)=(3x+2)x^2$
&p) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
\end{tabular}
\enex
\section{Equation de la tangente}
\bgth{
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, et
$\alpha\in I$.
Alors, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative
$\Cf$ de $f$ au point d'abscisse $\alpha$ est:
\[
y=f'(\alpha)\lp x-\alpha\rp +f(\alpha)\ .
\]
}
\bgproof{
Comme $f$ est dérivable en $\alpha$,
la tangente à $\Cf$ a une équation réduite de la forme
$y=f'(\alpha)x+p$.
De plus, cette tangente passe par le point
$A\lp\alpha;f\lp\alpha\rp\rp$ et donc,
$f(\alpha)=f'(\alpha)\alpha+p
\iff
p=f(\alpha)-f'(\alpha)\alpha
$.
Ainsi la tangente a pour équation:\quad
$y=f'(\alpha)x+f(\alpha)-f'(\alpha)\alpha
=f'(\alpha)\lp x-\alpha\rp +f(\alpha)\ .
$
}
\bgex
Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à $\Cf$ au
point $a$ donné:
\bgen[a)]
\item $f(x)=3x^2+5x-2$ et $a=-2$
\item $f(x)=\dfrac{1}{2}\lp -3+x+x^2\rp$ et $a=4$.
\item $f(x)=(2x+1)^2$ et $a=0$.
\enen
\enex
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=-2x^2+4x$,
et $\Cf$ est sa courbe représentative.
\bgen
\item Donner une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point $A$
d'abscisse $3$.
\item
\bgen[a)]
\item Etudier le signe de $f(x)-(-8x+18)$.
\item En déduire la position relative de $\Cf$ par rapport à $T$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ et $\Cf$ sa
courbe représentative.
Montrer que la tangente à $\Cf$ au point $A$ d'abscisse $a$ passe
par l'origine du repère si et seulement si
$f(a)=af'(a)$.
\item Soit $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=2x^2-3x+1$.
Quels sont les points de $\Cf$ en lesquels la tangente passe par
l'origine.
\enen
\enex
\section{Applications de la dérivation}
\subsection{Sens de variation d'une fonction}
\noindent
\bgmp{8cm}
On a vu que le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
la tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a$;
ainsi
\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item si $f'(a)>0$, la tangente est une droite strictement croissante,
et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$
\vspd
\item si $f'(a)<0$, la tangente est une droite strictement décroissante,
et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$
\enen
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.)(4,5.3)
\psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
\psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-2.2)(0,5.2)
%\multido{\i=-4+1}{10}{
% \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
%}
%\multido{\i=-3+1}{8}{
% \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
%}
\psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
\rput(4.8,3.4){$\Cf$}
%
\psplot{-4}{-0.5}{-2 x mul -3 add}
\psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,3)%(0,3)
\rput(-3,-0.3){$a$}\rput(-1.7,3){$f'(a)<0$}
%
\psplot{-3.5}{3.4}{-1}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1)
\rput(1,0.2){$a$}\rput(1,-1.3){$f'(a)=0$}
%
\psplot{1.8}{6.1}{1.5 x mul -19 4 div add}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.25)
\rput(4,-0.3){$a$}\rput(5.2,1.3){$f'(a)>0$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgth{
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\bgen[$\bullet$]
\item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement
croissante sur $I$.
\item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement
décroissante sur $I$.
\item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur
$I$.
\enen
}
\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice 5
et des fonctions suivantes:
\vspd\noindent
\begin{tabular}{llll}
q) $f(x)=2x^2+4x-3$
&r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
&s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
&t) $f(x)=\dfrac{3}{x+3}-\dfrac{2}{x+2}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
$f$ est la fonction définie par l'expression
$f(x)=\dfrac{1}{-2x^2+4x-3}$.
\bgen
\item On définie la fonction $g$ sur $\R$ par
l'expression $g(x)=-2x^2+4x-3$.
Etudier les variations de $g$.
\item En déduire les variations de $f$ puis le minimum de $f$ sur
$\R$.
\enen
\enex
\subsection{Extrema d'une fonction}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
$\bullet$ Un {\bf extremum} est un minimum ou un maximum.
\vsp
$\bullet$ $f$ présente un {\bf maximum local} $m=f(x_0)$ si il
existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
$f(x)\leqslant f(x_0)$.
\vsp
$\bullet$ $f$ présente un {\bf minimum local} $m=f(x_0)$ si il
existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
$f(x)\geqslant f(x_0)$.
\vsp
$\bullet$ L'extremum est dit {\bf global} lorsque $J=I$.
}
\bgth{
Si $f(x_0)$ est un extremum local sur l'intervalle $]a;b[$,
alors $f'(x_0)=0$.
La courbe $\Cf$ représentative de la fonction $f$ admet une tangente
horizontale au point $\lp x_0\ ;\ f\lp x_0\rp \rp$.
}
\vspd\noindent
\ul{Remarque:}
Ce théorème dit que:\ \
$f(x_0)$ extremum local $\Longrightarrow$ $f'(x_0)=0$.
La réciproque: \ \
$f'(x_0)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x_0)$ extremum local est FAUSSE.
\vspd
Par exemple, soit $f(x)=x^3$.
Alors $f'(x)=3x^2$ et $f'(x)=0\iff x=0$.
Ainsi, $f'(0)=0$.
Néanmoins $f(0)$ n'est ni un minimum ni un maximum local de $f$ car
pour $x<0$, $f(x)=x^3<0=f(0)$ et pour $x>0$, $f(x)=x^3>0=f(0)$.
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{4x^2+1}$.
\bgen
\item A l'aide de la calculatrice tracer $\Cf$ et localiser le maximum
de $f$.
\item Vérifier par le calcul s'il s'agit bien d'un maximum de $f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par
$f(x)=-x^3+6x^2-10$.
\vsp
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$.
Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$.
Est-ce un minimum ou un maximum ?
\enex
\noindent
\bgmp{13.3cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$.
On donne le tableau de variation de la fonction $f'$:
\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$.
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline
&&& 4 &&\\
$f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\
& $-1$ && && 3 \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-4;4]$.
On donne le tableau de variation de la fonction $f'$:
\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$.
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline
&&& $0$ && && $3$\\
$f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) &&
\psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
\psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
$0$&\\
& $-7$ && && $-1$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgex
La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
vitesse $v$,
pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h,
par l'expression
\[
C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
\]
A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale
?
\enex
\subsection{Résolution d'équations}
\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle
$[a;b]$ telle que
\bgen[$\bullet$]
\item $f$ est dérivable sur $[a;b]$
\item $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$
\item $f(a)<k<f(b)$ ou $f(a)>k>f(b)$
\enen
alors, il existe un unique $\alpha\in]a;b[$ tel que $f(\alpha)=k$.
}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le
tableau de variation est le suivant:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline
&&& 4 &&&& 10\\
$f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} &&
\Large{${\nearrow}$} & \\
& 1 && && -3 && \\\hline
\end{tabular}
\]
Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle où elles se situent,
de l'équation
a) $f(x)=0$ \hspace{2cm}
b) $f(x)=2$ \hspace{2cm}
c) $f(x)=-5$
\enex
\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=x^3+x+1$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
$[-3;2]$.
Déterminer un encadrement plus précis de cette solution.
\enex
\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=x^3-3x-1$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$, $]-1;1[$ et $]1;2[$.
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
solutions.
\enex
\section{Exercices}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
La trajectoire d'un mobile est portée par la courbe $\mathcal{C}$
d'équation $y=\dfrac{1}{t}$ dans un repère orthonormé.
On admet que lorsqu'il quitte sa trajectoire en $M$, le mobile
poursuit son mouvement en ligne droite sur la tangente à $\mathcal{C}$
en $M$.
A quel endroit doit-il quitter sa trajectoire pour passer par le point
$A(4;0)$ ?
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-1,0)(5.5,0)\rput(5.6,-0.2){$t$}
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(0,5.8)\rput(-0.2,5.7){$y$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0.18}{5}{1 x div}
\rput(0.4,4.8){$\mathcal{C}$}
\psline[arrowsize=10pt,arrowinset=0.5,arrowlength=1.3]{->}(0.4,2.5)(0.41,2.44)
\psline[arrowsize=10pt,arrowinset=0.5,arrowlength=1.3]{->}(0.2,5)(0.21,4.94)
%
\psplot{1}{5}{-0.25 x 2 sub mul 0.5 add}
\rput(2,0.46){$\bullet$}\put(2,0.7){$M$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par \ \
$f(x)=4x^2-6x+2$.
Montrer que la courbe $\Cf$ représentative de $f$ est toujours au dessus de
n'importe laquelle de ses tangentes.
\enex
\bgex
{\sl On dit que deux paraboles sont tangentes entre elles lorsqu'elles
ont un point commun $A$ et une tangente commune en $A$.}
\vspt
A tout nombre $m\not=0$, on associe la parabole
$\mathcal{P}_m$ d'équation \ \
$y=mx^2+(1-2m)x+m$.
Montrer que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles.
\enex
\section{Dérivée d'une fonction composée}
\bgprop{(Admise)
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables $\R$,
et $f=u\circ v$,
c'est-à-dire,
pour tout $x\in\R$,
$f(x)=u\lp v(x)\rp$.
Alors $f$ est dérivable sur $\R$ avec,
$f'=v'\tm u'\circ v$,
c'est-à-dire
pour tout $x\in\R$,
$f'(x)=v'(x)\tm u'\lp v(x)\rp$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
Alors $f=u\circ v$, avec
$u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=x^2+1$.
On a alors
$f'(x)=v'(x)\tm u'\lp v(x)\rp
=2x\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}
=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}
$.
\label{LastPage}
\end{document}
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