Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques en 1ère S: problèmes du 2nd degré},
pdftitle={Exercices et problèmes du second degré},
pdfkeywords={2nd degré, second degré, problèmes, Mathématiques, STMG, terminale STMG, TSTMG}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
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\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Poblèmes du second degré}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{ère}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\vspace{0.4cm}
\bgex
Calculer la longueur de chacun des côtés d'un rectangle d'aire
2226\,m$^2$ et de périmètre 221\,m.
\enex
\bgex
Une pelouse a la forme d'un rectangle dont la longueur est le double
de la largeur.
Une allée de 3\,m de large entoure cette pelouse.
Calculer la largeur de la pelouse, sachant que l'aire totale, pelouse
et allée, est de 360\,m$^2$.
\enex
\bgex
On lance une balle de tennis à la vitesse de 20\,m.s$^{-1}$.
La hauteur $h$, en mètres, atteinte par la balle en fonction du temps
$t$, en seconde, est donnée par
\[
h(t)=-5t^2+20t+1,6\,.
\]
\bgen
\item Quelle est la hauteur de la balle au bout de 1 seconde ? 3
secondes ?
De quelle hauteur la balle est-elle lancée ?
\item Déterminer à quel(s) instant(s) la balle atteindra une hauteur
de:
a)\ 1,6 mètres \hspace{1cm}
b)\ 21,6 mètres \hspace{1cm}
c)\ 12 mètres
\item Déterminer au bout de combien de temps la balle retombera au
sol.
\item Déterminer l'intervalle de temps pendant lequel la balle dépasse
la hauteur de 16\,m.
\enen
\enex
\vspace{-2.5cm}
\noindent
\bgmp[t]{11.5cm}
\bgex
Une unité de longueur étant choisie, on considère un trapèze $ABCD$ de
hauteur $BK$ et tel que $CK=a$, $KD=42$, $AB=2a$ et
$\widehat{BCD}=45^\circ$.
Déterminer le nombre réel $a$ pour que l'aire de ce trapèze soit égale
à 180.
\enex
\enmp\hspace{1cm}
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,5)
\pspolygon(0,0)(5,0)(3.5,1.5)(1.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](3.5,0)(3.5,1.5)
\psline(3.5,0.2)(3.7,0.2)(3.7,0)
\rput(1.3,1.7){$A$}
\rput(3.7,1.7){$B$}
\rput(5.2,-0.2){$C$}
\rput(-0.2,-0.2){$D$}
\rput(3.5,-0.3){$K$}
\psarc(5,0){0.5}{135}{180}
\rput(4.2,0.22){$45^\circ$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Inscrire un rectangle de 28 cm de périmètre dans un cercle de 5 cm de
rayon.
\enex
\bgex
Je me suis rendu en voiture à 480 km de chez moi.
Si ma vitesse avait été supérieure de 16 km/h, j'aurais mis 1 heure
de moins pour arriver à destination.
Quelle était ma vitesse moyenne ?
\enex
\bgex{\it Déformation d'une poutre}
Une poutre de longueur 2 mètres repose sur trois appuis simples $A$,
$B$ et $C$, l'appui $B$ étant situé au milieu de $[AC]$.
Elle supporte une charge uniformément répartie de 1\,000 N.m$^{-1}$
(newtons par mètre).
Sous l'action de cette charge, la poutre se déforme.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(10,2.2)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch*](0.5,0)(10.5,0)(10.5,0.5)(0.5,0.5)
\multido{\i=1+1}{10}{
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(\i,2)(\i,0.5)
}
\pspolygon(0.2,-0.5)(0.8,-0.5)(0.5,0)\rput(0.5,-0.3){$A$}
\pspolygon(5.2,-0.5)(5.8,-0.5)(5.5,0)\rput(5.5,-0.3){$B$}
\pspolygon(10.2,-0.5)(10.8,-0.5)(10.5,0)\rput(10.5,-0.3){$C$}
\psarc[linewidth=1.4pt](3,10){10.25}{256}{284}
\psarc[linewidth=1.4pt](8,10){10.25}{256}{284}
\psline{<->}(0.5,-1)(8,-1)\rput(4.5,-0.8){$x_m$}
\psline[linestyle=dashed](8,-1)(8,-0.2)
\end{pspicture}
On démontre que le point situé entre $B$ et $C$ où la déformation (la
flèche) est maximum, a une abscisse $x_m$ qui est solution de
l'équation:
\[
32x^3-156x^2+240x-116=0\,.
\]
\bgen
\item Vérifier que $1$ est solution de cette équation.
\item Factoriser alors l'équation et la résoudre.
\item En déduire $x_m$, position de la section de poutre de flèche
maximum entre les points $B$ et $C$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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