Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Généralités sur les fonctions},
pdftitle={Généralités sur les fonctions},
pdfkeywords={fonctions, généralités, fonctions associées,
sens de variation, Mathématiques, 1S, première S}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
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\noindent
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Généralités sur les fonctions - Exerices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{ère}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\vspace{0.4cm}
\ct{\Large \bf Exercices}
\bgex
Soit $f(x)=2x^2-x+3$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\bgen
\item Le point $A(10;193)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?
\item Le point $B(-5;60)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?
\item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
$100$ ?
\item Quelle est l'abscisse du point $D$ de $\mathcal{C}_f$ d'ordonnée
$3$ ?
\enen
\enex
\bgex
Soit les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions
$f(x)=x^2-x$ et $g(x)=x-1$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{p{5.5cm}p{5.cm}l}
$f(x)=\dfrac{5x^2+3x-2}{4x+5}$
&$g(x)=12x^4-\dfrac{3}{2x}$
&$h(x)=\sqrt{4x-2}$\\[0.4cm]
$l(x)=\sqrt{(2x-3)(x+2)}$
&$k(x)=\dfrac{3}{\sqrt{x}}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-2;3]$ par
$f(x)=x^2$ et $g(x)=x$.
\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$ et $g$,
et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$
représentatives des fonctions $f$ et $g$.
\vsp
\item Répondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
est fausse:
\vsp
\bgen[a)]
\item Si $x>1$, alors $f(x)>2$
\vsp
\item Si $-2\leq x\leq 3$, alors $4\leq f(x)\leq 9$
\vsp
\item Si $x>2$, alors $f(x)>g(x)$
\vsp
\item Si $0\leq x\leq 1$, alors $f(x)\geq g(x)$
\vsp
\item Si $x<0$, alors $g(x)>f(x)$
\enen
\enen
\enex
\vspd
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;2]$ par
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$ et $g(x)=2x-1$.
\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$ et $g$,
et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$
représentatives des fonctions $f$ et $g$.
\vsp
\item Répondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
est fausse:
\bgen[a)]
\item Si $x>1$, alors $f(x)>1$
\vsp
\item Si $x<1$, alors $f(x)<1$
\vsp
\item Si $x>1$, alors $f(x)>g(x)$
\vsp
\item Si $0< x\leq 1$, alors $f(x)\geq 1$
\vsp
\item Si $x<2$, alors $f(x)>0,5$
\enen
\enen
\enex
\bgex
Etudier la parité des fonctions suivantes:
\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}l}
a) $f(x)=x^2-3$
&b) $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$
&c) $f(x)=\dfrac{2x}{x^2-5}$ \\
d) $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$
& e) $f(x)=|x|$
& f) $f(x)=\sqrt{x}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Démontrer que, si $\lambda$ est un réel strictement négatif et $f$
une fonction décroissante sur un intervalle $I$, alors la fonction
$h=\lambda f$ est croissante sur $I$.
\item Démontrer que si $f$ est une fonction croissante sur un
intervalle $I$, alors $h=\dfrac{1}{f}$ est décroissante sur $I$.
\enen
\enex
\bgex
Etudier le sens de variation des fonctions définies par les
expressions suivantes:
\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}l}
a) $f(x)=\dfrac{1}{2x+1}$
&b) $f(x)=-5x^2$
&c) $f(x)=\dfrac{1}{|x|}$\\
d) $f(x)=\sqrt{-3x+2}$
& e) $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-10$
\end{tabular}
\enex
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par
\[
f(x)=x+|x| \hspace{1cm}\mbox{et,} \hspace{1cm}
g(x)=x-|x|
\]
\bgen
\item Déterminer l'expression de la fonction produit $h=fg$.
\item Tracer sur un m\^eme graphique les courbes représentatives des
fonctions $f$ et $g$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction
\[f : x \mapsto\frac{2x + 5}{x + 1}\]
et on appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique par rapport
à un repère orthogonal du plan.
\bgen
\item Montrer que, pour tout $x \neq -1$, on a :
\[f(x) = 2 + \frac{3}{x+1}\,.\]
\item A l'aide de l'expression précédente, étudier le sens de
variation de la fonction $f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $h_1:x\mapsto \sqrt{x-1}$ et $h_2:x\mapsto x^2+1$.
\bgen
\item Donner les ensembles de définition de $h_1$ et $h_2$.
\item Pour chacune des fonctions suivantes, donner son expression et
son ensemble de définition:
\[
h_2\circ h_1 \ \ ;\ \ h_1\circ h_2\ \ ;\ \
h_1\circ h_1 \ \ ; \ \ h_2\circ h_2
\]
\enen
\enex
\bgex
Les fonctions $u$, $v$ et $w$ sont respectivement définies sur les intervalles $[-2, 4]$, $\left]0 , +\infty\right[$ et $\R$ par
\[u(x) = x + 3\,,\quad
v(x) = \frac{1}{x}\quad\text{et}\quad
w(x) = 2 - 7x\,.
\]
\bgen
\item Soit $f = w\circ v \circ u$.
Démontrer que $f$ est définie par l'expression
$f:x\mapsto 2-\dfrac{7}{x+3}$.
\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $[-2 , 4]$.
\item Encadrer $f(x)$ au mieux sur $[-2 , 4]$.
\enen
\enex
\bgex
\'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par
$f(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{-2x^2+8}}+123$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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