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Description
Cours de mathématiques 1ère S - Généralités sur les fonctions
Niveau
Première S
Table des matières
  • Rappels
    • Courbe représentative d'une fonction
    • Ensemble de définition d'une fonction
    • Fonctions usuelles (ou de référence)
  • Parité d'une fonction
  • Opération sur les fonctions
    • Définition des opérations sur des fonctions
    • Sens de variation
    • Composition de fonctions
Mots clé
fonctions, généralités, sens de variation, opérations sur les fonctions, fonctions usuelles, fonctions de référence, cours de mathématiques, maths, première, 1ère, S
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Généralités sur les fonctions},
    pdftitle={Généralités sur les fonctions},
    pdfkeywords={fonctions, généralités, fonctions associées, 
      sens de variation, Mathématiques, 1S, première S}
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\voffset=-2.2cm
% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}


\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-.5cm
\footskip=.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Généralités sur les fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{0.5cm}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$

\section{Rappels}

\subsection{Courbe représentative d'une fonction}

\bgdef{
La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points
$M(x;f(x))$, où $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$. 
}

\bgmp{8cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.1){\footnotesize $x$}
  \rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$y=f(x)$}}
  \rput(2.1,0.8){\footnotesize $M(x;y)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
\[M(x;y) \in \Cf \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x)
\]
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x-1$. 

Un point $M(x;y)$ est sur $\Cf$ si et seulement si $y=f(x)$, 
c'est-à-dire si $y=2x-1$. 

$\Cf$ est donc la droite d'équation $y=2x-1$. 

\vspd
\bgex
Soit $f(x)=2x^2-x+3$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item Le point $A(10;193)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?
\item Le point $B(-5;60)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ? 
\item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
  $100$ ? 
\item Quelle est l'abscisse du point $D$ de $\mathcal{C}_f$ d'ordonnée 
  $3$ ? 
\enen
\enex


\bgex
Soit les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions 
$f(x)=x^2-x$ et $g(x)=x-1$. 

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de 
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\enex

\subsection{Ensemble de définition d'une fonction}

\bgdef{
L'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ d'une fonction $f$ est
l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe. 
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. 

$f(x)$ existe si et seulement si le dénominateur $2x-3$ n'est pas nul, 
soit $2x-3\not=0\iff x\not=\dfrac{3}{2}$. 

Ainsi, $\mathcal{D}_f=\R\setminus\la\dfrac{3}{2}\ra$. 

\bgex
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes: 

\vspd
\begin{tabular}{p{5.5cm}p{5.cm}l}
$f(x)=\dfrac{5x^2+3x-2}{4x+5}$
&$g(x)=12x^4-\dfrac{3}{2x}$
&$h(x)=\sqrt{4x-2}$\\[0.4cm]
$l(x)=\sqrt{(2x-3)(x+2)}$
&$k(x)=\dfrac{3}{\sqrt{x}}$
\end{tabular}
\enex

\subsection{Fonctions usuelles}

\subsubsection{Fonctions affines}

Une fonction affine est une fonction définie sur $\R$, 
et dont l'expression est de la forme 
$f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. 

La courbe représentative de la fonction affine $f(x)=ax+b$ est la
droite d'équation $y=ax+b$. 


\vspace{-0.3cm}
\subsubsection{Fonction carré}

La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\R$ par: 

\hspace{4cm}\fbox{$f(x)=x^2$}

%\vspace{-1.6cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$  && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$}& \\
&&&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2)(2.5,3.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1)\rput(-2,-0.3){$-2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,1)(1,1)\rput(-1,-0.3){$-1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
 
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)\rput(1,-0.3){$1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,4)(2,4)\rput(2,-0.3){$2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,4)
  \rput(-0.2,1.2){$1$}
  \rput(-0.2,3.8){$4$}
\end{pspicture}
\enmp



\subsubsection{Fonction cube}

La fonction cube est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par
\fbox{$f(x)=x^3$}. 

\vspace{-0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&\Large{$\nearrow$}&\\
$f$  &&&$0$&& \\
&&\Large{$\nearrow$}&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& $-8$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2)(2.5,4.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-9)(0,9)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul x mul}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(-2,0)\rput(-2,0.5){$-2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(0,-8)\rput(0.3,-8){$-8$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(-1,0)\rput(-1,0.5){$-1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)\rput(0.3,-1){$-1$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)\rput(1,-0.5){$1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)\rput(-0.3,1){$1$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,8)\rput(2,-0.5){$2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,8)(0,8)\rput(-0.3,8){$8$}
\end{pspicture}
\enmp



\subsubsection{Fonction inverse}

\vspace{-0.3cm}
La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\R^*$ 
par \fbox{$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$}. 

\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$  && \Large{$\searrow$} &
\psline(-0.05,-0.7)(-0.05,0.9)
\psline(0.05,-0.7)(0.05,0.9)
& \Large{$\nearrow$}& \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & -$1$ & -$0.5$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& -$0.5$ & -$1$ & -$2$ &$0$ & $2$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}%\vspace{3cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2.2)(2.5,2.2)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3.2,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,3)\rput(-0.1,-0.2){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-3}{-0.33}{1 x div}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{0.33}{2.5}{1 x div}

  \multido{\i=-2+1}{5}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
    \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
  }

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-0.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-0.5)(0,-0.5)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,-1)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,-2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,-2)(0,-2)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,0.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0.5)(0,0.5)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,2)(0,2)

  \rput(-2,0.3){-$2$}\rput(-1.1,0.3){-$1$}\rput(-0.4,0.4){-$0.5$}
  \rput(1.1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(0.4,-0.4){$0.5$}
  \rput(0.3,-2){-$2$}\rput(0.3,-1){-$1$}
  \rput(-0.3,2){$2$}\rput(-0.3,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspq
\subsubsection{Fonction racine carrée}

La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur $\R_+$: 
\fbox{$f(x)=\sqrt{x}$}


\bgmp{8cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $+\infty$ \\\hline
&&&\\
$f$  &&  \Large{$\nearrow$}& \\
&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
}

\vspd
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
  $x$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ & $4$ & $9$ \\\hline
  $f(x)$& $0$ & $\simeq0.7$ & $1$ & $2$ & $\simeq1,4$ & $3$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.8cm}
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0.5,-0.5)(2.5,5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,0)(9.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{0}{9.5}{x sqrt}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
 
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,0.707)(0.5,0.707)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.707)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.414)(2,1.414)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,1.414)(2,0)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,2)(4,2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](4,2)(4,0)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,3)(9,3)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](9,3)(9,0)

  \rput(-0.2,1){$1$}\rput(-0.2,2){$2$}\rput(-0.2,3){$3$}
  \rput(1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(4,-0.3){$4$}
  \rput(9,-0.3){$9$}
\end{pspicture}
\enmp


\subsubsection{Fonction valeur absolue}

\bgmp{10cm}
La fonction valeur absolue est la fonction $f$ définie sur $\R$ par: 
\[
f(x)=|x|=\la\bgar{rll} 
x  &\mbox{si} &x\geqslant 0 \\
-x &\mbox{si} &x< 0
\enar\right.
\]

Par exemple, 
$|5|=5$; $|-12|=12$; $|x^2|=x^2$. 
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,0)(2.5,2.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-2.3}{0}{-1 x mul}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{0}{2.3}{x}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1)\rput(-2,-0.3){$-2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,1)(1,1)\rput(-1,-0.3){$-1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)\rput(2,-0.3){$2$}
 
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,2)(2,2)(2,0)
  \rput(1,-0.3){$1$}
  \rput(-0.2,1.2){$1$}
  \rput(-0.2,2.2){$2$}
\end{pspicture}
\enmp



\vspq

\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-2;3]$ par 
$f(x)=x^2$ et $g(x)=x$. 

\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$ et $g$, 
  et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ 
  représentatives des fonctions $f$ et $g$. 
  
\item Répondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
  est fausse: 

  \bgen[a)]
  \item Si $x>1$, alors $f(x)>2$
    \vsp
  \item Si $-2\leq x\leq 3$, alors $4\leq f(x)\leq 9$
    \vsp
  \item Si $x>2$, alors $f(x)>g(x)$
    \vsp
  \item Si $0\leq x\leq 1$, alors $f(x)\geq g(x)$
    \vsp
  \item Si $x<0$, alors $g(x)>f(x)$
  \enen
\enen
\enex

\bgex 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;2]$ par 
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$ et $g(x)=2x-1$. 

\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$ et $g$, 
  et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ 
  représentatives des fonctions $f$ et $g$. 
  
\item Répondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
  est fausse: 

  \bgen[a)]
  \item Si $x>1$, alors $f(x)>1$
    \vsp
  \item Si $x<1$, alors $f(x)<1$
    \vsp
  \item Si $x>1$, alors $f(x)>g(x)$
    \vsp
  \item Si $0< x\leq 1$, alors $f(x)\geq 1$
    \vsp
  \item Si $x<2$, alors $f(x)>0,5$
  \enen
\enen
\enex

\section{Parité d'une fonction}

\bgdef{
Une fonction $f$ est dite \ul{paire} si pour tout $x$ de son ensemble
de définition, $-x$ est aussi dans son ensemble de définition, et 
$f(-x)=f(x)$. 
}

\bgprop{\ 
\par

\vspace{-2cm}
\hspace{-2cm}
\bgmp[b]{8cm}
La courbe représentative d'une fonction paire admet l'axe des
ordonnées comme axe de symétrie. 
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,7)
  \psline{->}(-5,0)(5,0)
  \psline{->}(0,-2)(0,5)
  \nwc{\f}[1]{0.5 #1 3 exp mul -1.8 #1 2 exp mul add 2 add}

  \psplot{0}{4}{\f{x}}
  \psplot{-4}{0}{-0.5 x 3 exp mul -1.8 x x mul mul add 2 add}
  \rput(-0.7,2){$\mathcal{C}_f$}

  \psline[linestyle=dashed]
  (3.8,0)(!3.8 \space \f{3.8})(!-3.8 \space \f{3.8})(-3.8,0)

  \rput(-4,-0.3){$-x$}
  \rput(4,-0.3){$x$}
  \rput(-0.2,3.7){$f(-x)=f(x)$}
\end{pspicture}
\enmp
}


\bgdef{
Une fonction $f$ est dite \ul{impaire} si pour tout $x$ de son ensemble
de définition, $-x$ est aussi dans son ensemble de définition, et 
$f(-x)=-f(x)$. 
}

\bgprop{\ 
\par

\vspace{-4cm}
\hspace{-2cm}
\bgmp[b]{8cm}
La courbe représentative d'une fonction impaire admet l'origine du
repère comme centre de symétrie. 
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,9)
  \psline{->}(-5,0)(5,0)
  \psline{->}(0,-5)(0,5)
  \nwc{\f}[1]{0.2 #1 3 exp mul -2 #1 mul add}

  \psplot{-4}{4}{\f{x}}
  \rput(-2.8,2){$\mathcal{C}_f$}

  \psline[linestyle=dashed](3.8,0)(!3.8 \space \f{3.8})(!0 \space \f{3.8})
  \psline[linestyle=dashed](-3.8,0)(!-3.8 \space \f{-3.8})(!0 \space \f{-3.8})
  
  \psline[linestyle=dotted](!-3.8 \space \f{-3.8})(!3.8 \space \f{3.8})

  \rput(-4,0.3){$-x$}
  \rput(4,-0.3){$x$}
  \rput(-0.5,3.4){$f(x)$}
  \rput[l](0.1,-3.4){$f(-x)=-f(x)$}
\end{pspicture}
\enmp
}

\bgex
Etudier la parité des fonctions suivantes: 

\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}l}
a) $f(x)=x^2-3$ 
&b) $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$
&c) $f(x)=\dfrac{2x}{x^2-5}$ \\
d) $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$
& e) $f(x)=|x|$ 
& f) $f(x)=\sqrt{x}$
\end{tabular}

\enex

\section{Opérations sur les fonctions}

\subsection{Définition des opérations}

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur 
$\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$. 

On définit alors: 

\bgen[$\bullet$]
\item {\bf l'addition de $f$ et du nombre réel $\lambda$}, $h=f+\lambda$ par, 
  pour tout $x\in\mathcal{D}_f$, 
  $h(x)=f(x)+\lambda$
\item {\bf l'addition de $f$ et $g$}, $h=f+g$ par, 
  pour tout $x\in\mathcal{D}_f\cup\mathcal{D}_g$, 
  $h(x)=f(x)+g(x)$
\item {\bf le produit de $f$ par un nombre réel $\lambda$}, $h=\lambda f$ par, 
  pour tout $x\in\mathcal{D}_f$, 
  $h(x)=\lambda f(x)$
\item {\bf le produit de $f$ et $g$}, $h=fg$ par, 
  pour tout $x\in\mathcal{D}_f\cup\mathcal{D}_g$, 
  $h(x)=f(x)g(x)$
\item {\bf l'inverse de $f$}, $h=\dfrac{1}{f}$ par, 
  pour tout $x\in\mathcal{D}_f$ tel que $f(x)\not=0$, 
  $h(x)=\dfrac{1}{f(x)}$
\item {\bf le quotient de $f$ par $g$}, $h=\dfrac{f}{g}$ par, 
  pour tout $x\in\mathcal{D}_f\cup\mathcal{D}_g$ tel que 
  $g(x)\not=0$, 
  $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
\item {\bf la racine carrée de $f$}, $h=\sqrt{f}$ par, 
  pour tout $x\in\mathcal{D}_f$ tel que $f(x)\geqslant0$, 
  $h(x)=\sqrt{f(x)}$
\enen

\vspd\noindent
\ul{Exemples:} 

Soit $h(x)=x^2+3$, alors $h$ est la somme de la fonction 
carré $f(x)=x^2$ et du nombre réel $\lambda=3$, 
$h=f+3$. 

Soit $h(x)=4x^3+2x-1$, alors $h$ est la somme des fonctions 
$f(x)=4x^3$ et de la fonction affine $g(x)=2x-1$. 
$f$ est de plus le produit de la fonction cube $u(x)=x^3$ par le
nombre réel $\lambda=4$. 
On a donc $h=4u+g$.

\clearpage
\subsection{Sens de variation}

\bgprop{\vspace*{-1em}
\bgen[$\bullet$]
\item La somme $f+\lambda$, où $\lambda$ est un nombre réel, à même sens de
  variation que $f$. 
\item La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) sur
  un intervalle $I$ est une fonction croissante 
  (resp. décroissante).
\item La fonction $\lambda f$, où $\lambda$ est un réel non nul, a même sens
  de variation que $f$ si $\lambda$ est strictement positif, 
  et un sens contraire si $\lambda$ est strictement négatif. 
\item La fonction $\dfrac{1}{f}$ a un sens de variation contraire à
  celui de $f$. 
\item La fonction $\sqrt{f}$ a même sens de variation que $f$. 
\enen
}

\bigskip\noindent
\ul{Remarque:} Il n'y a pas de résultat général pourla différence, le
produit et le quotient de deux fonctions. 


\bgproof{
\bgen[$\bullet$]
\item {\bf Somme $h=f+\lambda$}. 
  Supposons par exemple que $f$ soit croissante, 
  alors, pour tout $x$ et $y$ de $\in\mathcal{D}_f$ 
  tels que $x<y$, on a $f(x)<f(y)$. 
  
  On en déduit que $f(x)+\lambda<f(y)+\lambda$, et donc que 
  $h(x)<h(y)$: $h=f+\lambda$ est aussi croissante. 

\item {\bf Somme $h=f+g$}. 
  Supposons par exemple que $f$ et $g$ soient croissantes, 
  alors, pour tout $x$ et $y$ de $\in\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g$ 
  tels que $x<y$, on a $f(x)<f(y)$ et $g(x)<g(y)$
  
  On en déduit que $f(x)+g(x)<f(y)+g(y)$, et donc que 
  $h(x)<h(y)$: $h=f+g$ est aussi croissante. 
  
\item {\bf Produit $h=\lambda f$}. 
  Supposons par exemple $\lambda>0$ et $f$ soit croissante, 
  alors, pour tout $x$ et $y$ de $\in\mathcal{D}_f$ 
  tels que $x<y$, on a $f(x)<f(y)$. 
  
  On en déduit, comme $\lambda>0$, que $\lambda f(x)<\lambda f(y)$, 
  et donc que 
  $h(x)<h(y)$: $h=\lambda f$ est aussi croissante. 
\enen
}

\bgex
\bgen[a)]
\item Démontrer que, si $\lambda$ est un réel strictement négatif et $f$
  une fonction décroissante sur un intervalle~$I$, alors la fonction
  $h=\lambda f$ est croissante sur $I$. 
\item Démontrer que si $f$ est une fonction croissante sur un
  intervalle $I$, alors $h=\dfrac{1}{f}$ est décroissante sur $I$. 
\enen
\enex

\bgex
Etudier le sens de variation des fonctions définies par les
expressions suivantes:
\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}l}
a) $f(x)=\dfrac{1}{2x+1}$
&b) $f(x)=-5x^2$
&c) $f(x)=\dfrac{1}{|x|}$\\
d) $f(x)=\sqrt{-3x+2}$
& e) $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-10$
\end{tabular}
\enex

\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par 
\[
f(x)=x+|x| \hspace{1cm}\mbox{et,} \hspace{1cm}
g(x)=x-|x|
\]
\bgen
\item Déterminer l'expression de la fonction produit $h=fg$. 
\item Tracer sur un m\^eme graphique les courbes représentatives des
  fonctions $f$ et $g$. 
\enen
\enex

\bgex

On considère la fonction 
\[f : x \mapsto\frac{2x + 5}{x + 1}\]
et on appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique par rapport
à un repère orthogonal du plan. 

\bgen
\item Montrer que, pour tout $x \neq -1$, on a :
      \[f(x) = 2 + \frac{3}{x+1}\,.\]
\item A l'aide de l'expression précédente, étudier le sens de
  variation de la fonction $f$.  
\enen
\enex

\subsection{Composition de fonctions}

\bgdef{
Etant donné deux fonctions $f$ et $g$, on définit la fonction $u$ 
composée de $f $et $g$, notée $u=f\circ g$ ($f$ "rond" $g$) par: 
\[
u(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))
\]
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Soit $g(x)=x-2$ et  $f(x)=\sqrt{x}$. 
Alors, pour tout $x\geqslant 2$, 

\noindent
\bgmp{8cm}
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\sqrt{x-2}
\]
\enmp\hspace{1cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(8,2)
\rput(0,0.3){$x$}\psline{->}(0.4,0.3)(3.4,0.3)\rput(2,0.6){$g$}
\rput(4,0.3){$x-2$}\psline{->}(4.6,0.3)(7.3,0.3)
\rput(5.5,0.8){$f$}\rput(8,0.3){$\sqrt{x-2}$}
\rput(4,1.4){$X$}\psline{->}(4.3,1.4)(7.3,1.4)\rput(8,1.4){$\sqrt{X}$}
\psline{->}(0,0)(0,-1)(8,-1)(8,0)
\rput(4,-0.7){$f\circ g$}
\end{pspicture}
\enmp

\noindent
\bgmp{8cm}
\[
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{x}-2
\]
\enmp\hspace{1cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(8,2)
\rput(0,0.3){$x$}\psline{->}(0.4,0.3)(3.4,0.3)\rput(2,0.6){$f$}
\rput(4,0.3){$\sqrt{x}$}\psline{->}(4.6,0.3)(7.3,0.3)
\rput(5.5,0.8){$g$}\rput(8,0.3){$\sqrt{x}-2$}
\rput(4,1.4){$X$}\psline{->}(4.3,1.4)(7.3,1.4)\rput(8,1.4){$X-2$}
\psline{->}(0,0)(0,-1)(8,-1)(8,0)
\rput(4,-0.7){$g\circ f$}
\end{pspicture}
\enmp

Attention, en général, $g\circ f\not=f\circ g$ !

\bgex
Soit $h_1:x\mapsto \sqrt{x-1}$ et $h_2:x\mapsto x^2+1$. 
\bgen
\item Donner les ensembles de définition de $h_1$ et $h_2$. 
\item Pour chacune des fonctions suivantes, donner son expression et
  son ensemble de définition: 
  \[
  h_2\circ h_1 \ \ ;\ \ h_1\circ h_2\ \ ;\ \ 
  h_1\circ h_1 \ \ ; \ \ h_2\circ h_2
  \]
\enen
\enex

\bgex
Les fonctions $u$, $v$ et $w$ sont respectivement définies sur les
intervalles $[-2, 4]$, $\left]0 , +\infty\right[$ et $\R$ par  
\[u(x) = x + 3\,,\quad
v(x) = \frac{1}{x}\quad\text{et}\quad
w(x) = 2 - 7x\,.
\]
\bgen
\item Soit $f = w\circ v \circ u$.
Démontrer que $f$ est définie par l'expression 
$f:x\mapsto 2-\dfrac{7}{x+3}$.
\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $[-2 , 4]$.
\item Encadrer $f(x)$ au mieux sur $[-2 , 4]$.
\enen
\enex

\bgex 
\'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par
$f(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{-2x^2+8}}+123$.
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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