Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Généralités sur les fonctions},
pdftitle={Généralités sur les fonctions},
pdfkeywords={fonctions, généralités, fonctions associées,
sens de variation, Mathématiques, 1S, première S}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\topmargin=-.5cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Généralités sur les fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{ère}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\section{Rappels}
\subsection{Courbe représentative d'une fonction}
\bgdef{
La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points
$M(x;f(x))$, où $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$.
}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
\psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
\rput(1.7,-0.1){\footnotesize $x$}
\rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$y=f(x)$}}
\rput(2.1,0.8){\footnotesize $M(x;y)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
\[M(x;y) \in \Cf \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x)
\]
\enmp
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x-1$.
Un point $M(x;y)$ est sur $\Cf$ si et seulement si $y=f(x)$,
c'est-à-dire si $y=2x-1$.
$\Cf$ est donc la droite d'équation $y=2x-1$.
\vspd
\bgex
Soit $f(x)=2x^2-x+3$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\bgen
\item Le point $A(10;193)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?
\item Le point $B(-5;60)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?
\item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
$100$ ?
\item Quelle est l'abscisse du point $D$ de $\mathcal{C}_f$ d'ordonnée
$3$ ?
\enen
\enex
\bgex
Soit les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions
$f(x)=x^2-x$ et $g(x)=x-1$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\enex
\subsection{Ensemble de définition d'une fonction}
\bgdef{
L'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ d'une fonction $f$ est
l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$.
$f(x)$ existe si et seulement si le dénominateur $2x-3$ n'est pas nul,
soit $2x-3\not=0\iff x\not=\dfrac{3}{2}$.
Ainsi, $\mathcal{D}_f=\R\setminus\la\dfrac{3}{2}\ra$.
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{p{5.5cm}p{5.cm}l}
$f(x)=\dfrac{5x^2+3x-2}{4x+5}$
&$g(x)=12x^4-\dfrac{3}{2x}$
&$h(x)=\sqrt{4x-2}$\\[0.4cm]
$l(x)=\sqrt{(2x-3)(x+2)}$
&$k(x)=\dfrac{3}{\sqrt{x}}$
\end{tabular}
\enex
\subsection{Fonctions usuelles}
\subsubsection{Fonctions affines}
Une fonction affine est une fonction définie sur $\R$,
et dont l'expression est de la forme
$f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
La courbe représentative de la fonction affine $f(x)=ax+b$ est la
droite d'équation $y=ax+b$.
\vspace{-0.3cm}
\subsubsection{Fonction carré}
La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\hspace{4cm}\fbox{$f(x)=x^2$}
%\vspace{-1.6cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$ && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$}& \\
&&&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
$f(x)$& $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2)(2.5,3.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1)\rput(-2,-0.3){$-2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,1)(1,1)\rput(-1,-0.3){$-1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)\rput(1,-0.3){$1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,4)(2,4)\rput(2,-0.3){$2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,4)
\rput(-0.2,1.2){$1$}
\rput(-0.2,3.8){$4$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsubsection{Fonction cube}
La fonction cube est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par
\fbox{$f(x)=x^3$}.
\vspace{-0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&\Large{$\nearrow$}&\\
$f$ &&&$0$&& \\
&&\Large{$\nearrow$}&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
$f(x)$& $-8$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2)(2.5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-9)(0,9)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul x mul}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(-2,0)\rput(-2,0.5){$-2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(0,-8)\rput(0.3,-8){$-8$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(-1,0)\rput(-1,0.5){$-1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)\rput(0.3,-1){$-1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)\rput(1,-0.5){$1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)\rput(-0.3,1){$1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,8)\rput(2,-0.5){$2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,8)(0,8)\rput(-0.3,8){$8$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsubsection{Fonction inverse}
\vspace{-0.3cm}
La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\R^*$
par \fbox{$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$}.
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$ && \Large{$\searrow$} &
\psline(-0.05,-0.7)(-0.05,0.9)
\psline(0.05,-0.7)(0.05,0.9)
& \Large{$\nearrow$}& \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & -$1$ & -$0.5$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ \\\hline
$f(x)$& -$0.5$ & -$1$ & -$2$ &$0$ & $2$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}%\vspace{3cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2.2)(2.5,2.2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3.2,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,3)\rput(-0.1,-0.2){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-3}{-0.33}{1 x div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.33}{2.5}{1 x div}
\multido{\i=-2+1}{5}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-0.5)(0,-0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,-1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,-2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,-2)(0,-2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0.5)(0,0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,2)(0,2)
\rput(-2,0.3){-$2$}\rput(-1.1,0.3){-$1$}\rput(-0.4,0.4){-$0.5$}
\rput(1.1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(0.4,-0.4){$0.5$}
\rput(0.3,-2){-$2$}\rput(0.3,-1){-$1$}
\rput(-0.3,2){$2$}\rput(-0.3,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspq
\subsubsection{Fonction racine carrée}
La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur $\R_+$:
\fbox{$f(x)=\sqrt{x}$}
\bgmp{8cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $+\infty$ \\\hline
&&&\\
$f$ && \Large{$\nearrow$}& \\
&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
$x$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ & $4$ & $9$ \\\hline
$f(x)$& $0$ & $\simeq0.7$ & $1$ & $2$ & $\simeq1,4$ & $3$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.8cm}
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0.5,-0.5)(2.5,5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,0)(9.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{9.5}{x sqrt}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,0.707)(0.5,0.707)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.707)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.414)(2,1.414)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,1.414)(2,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,2)(4,2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](4,2)(4,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,3)(9,3)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](9,3)(9,0)
\rput(-0.2,1){$1$}\rput(-0.2,2){$2$}\rput(-0.2,3){$3$}
\rput(1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(4,-0.3){$4$}
\rput(9,-0.3){$9$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsubsection{Fonction valeur absolue}
\bgmp{10cm}
La fonction valeur absolue est la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[
f(x)=|x|=\la\bgar{rll}
x &\mbox{si} &x\geqslant 0 \\
-x &\mbox{si} &x< 0
\enar\right.
\]
Par exemple,
$|5|=5$; $|-12|=12$; $|x^2|=x^2$.
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,0)(2.5,2.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-2.3}{0}{-1 x mul}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{2.3}{x}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1)\rput(-2,-0.3){$-2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,1)(1,1)\rput(-1,-0.3){$-1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)\rput(2,-0.3){$2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,2)(2,2)(2,0)
\rput(1,-0.3){$1$}
\rput(-0.2,1.2){$1$}
\rput(-0.2,2.2){$2$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspq
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-2;3]$ par
$f(x)=x^2$ et $g(x)=x$.
\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$ et $g$,
et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$
représentatives des fonctions $f$ et $g$.
\item Répondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
est fausse:
\bgen[a)]
\item Si $x>1$, alors $f(x)>2$
\vsp
\item Si $-2\leq x\leq 3$, alors $4\leq f(x)\leq 9$
\vsp
\item Si $x>2$, alors $f(x)>g(x)$
\vsp
\item Si $0\leq x\leq 1$, alors $f(x)\geq g(x)$
\vsp
\item Si $x<0$, alors $g(x)>f(x)$
\enen
\enen
\enex
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;2]$ par
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$ et $g(x)=2x-1$.
\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$ et $g$,
et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$
représentatives des fonctions $f$ et $g$.
\item Répondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
est fausse:
\bgen[a)]
\item Si $x>1$, alors $f(x)>1$
\vsp
\item Si $x<1$, alors $f(x)<1$
\vsp
\item Si $x>1$, alors $f(x)>g(x)$
\vsp
\item Si $0< x\leq 1$, alors $f(x)\geq 1$
\vsp
\item Si $x<2$, alors $f(x)>0,5$
\enen
\enen
\enex
\section{Parité d'une fonction}
\bgdef{
Une fonction $f$ est dite \ul{paire} si pour tout $x$ de son ensemble
de définition, $-x$ est aussi dans son ensemble de définition, et
$f(-x)=f(x)$.
}
\bgprop{\
\par
\vspace{-2cm}
\hspace{-2cm}
\bgmp[b]{8cm}
La courbe représentative d'une fonction paire admet l'axe des
ordonnées comme axe de symétrie.
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,7)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-2)(0,5)
\nwc{\f}[1]{0.5 #1 3 exp mul -1.8 #1 2 exp mul add 2 add}
\psplot{0}{4}{\f{x}}
\psplot{-4}{0}{-0.5 x 3 exp mul -1.8 x x mul mul add 2 add}
\rput(-0.7,2){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dashed]
(3.8,0)(!3.8 \space \f{3.8})(!-3.8 \space \f{3.8})(-3.8,0)
\rput(-4,-0.3){$-x$}
\rput(4,-0.3){$x$}
\rput(-0.2,3.7){$f(-x)=f(x)$}
\end{pspicture}
\enmp
}
\bgdef{
Une fonction $f$ est dite \ul{impaire} si pour tout $x$ de son ensemble
de définition, $-x$ est aussi dans son ensemble de définition, et
$f(-x)=-f(x)$.
}
\bgprop{\
\par
\vspace{-4cm}
\hspace{-2cm}
\bgmp[b]{8cm}
La courbe représentative d'une fonction impaire admet l'origine du
repère comme centre de symétrie.
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,9)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\nwc{\f}[1]{0.2 #1 3 exp mul -2 #1 mul add}
\psplot{-4}{4}{\f{x}}
\rput(-2.8,2){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dashed](3.8,0)(!3.8 \space \f{3.8})(!0 \space \f{3.8})
\psline[linestyle=dashed](-3.8,0)(!-3.8 \space \f{-3.8})(!0 \space \f{-3.8})
\psline[linestyle=dotted](!-3.8 \space \f{-3.8})(!3.8 \space \f{3.8})
\rput(-4,0.3){$-x$}
\rput(4,-0.3){$x$}
\rput(-0.5,3.4){$f(x)$}
\rput[l](0.1,-3.4){$f(-x)=-f(x)$}
\end{pspicture}
\enmp
}
\bgex
Etudier la parité des fonctions suivantes:
\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}l}
a) $f(x)=x^2-3$
&b) $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$
&c) $f(x)=\dfrac{2x}{x^2-5}$ \\
d) $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$
& e) $f(x)=|x|$
& f) $f(x)=\sqrt{x}$
\end{tabular}
\enex
\section{Opérations sur les fonctions}
\subsection{Définition des opérations}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur
$\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$.
On définit alors:
\bgen[$\bullet$]
\item {\bf l'addition de $f$ et du nombre réel $\lambda$}, $h=f+\lambda$ par,
pour tout $x\in\mathcal{D}_f$,
$h(x)=f(x)+\lambda$
\item {\bf l'addition de $f$ et $g$}, $h=f+g$ par,
pour tout $x\in\mathcal{D}_f\cup\mathcal{D}_g$,
$h(x)=f(x)+g(x)$
\item {\bf le produit de $f$ par un nombre réel $\lambda$}, $h=\lambda f$ par,
pour tout $x\in\mathcal{D}_f$,
$h(x)=\lambda f(x)$
\item {\bf le produit de $f$ et $g$}, $h=fg$ par,
pour tout $x\in\mathcal{D}_f\cup\mathcal{D}_g$,
$h(x)=f(x)g(x)$
\item {\bf l'inverse de $f$}, $h=\dfrac{1}{f}$ par,
pour tout $x\in\mathcal{D}_f$ tel que $f(x)\not=0$,
$h(x)=\dfrac{1}{f(x)}$
\item {\bf le quotient de $f$ par $g$}, $h=\dfrac{f}{g}$ par,
pour tout $x\in\mathcal{D}_f\cup\mathcal{D}_g$ tel que
$g(x)\not=0$,
$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
\item {\bf la racine carrée de $f$}, $h=\sqrt{f}$ par,
pour tout $x\in\mathcal{D}_f$ tel que $f(x)\geqslant0$,
$h(x)=\sqrt{f(x)}$
\enen
\vspd\noindent
\ul{Exemples:}
Soit $h(x)=x^2+3$, alors $h$ est la somme de la fonction
carré $f(x)=x^2$ et du nombre réel $\lambda=3$,
$h=f+3$.
Soit $h(x)=4x^3+2x-1$, alors $h$ est la somme des fonctions
$f(x)=4x^3$ et de la fonction affine $g(x)=2x-1$.
$f$ est de plus le produit de la fonction cube $u(x)=x^3$ par le
nombre réel $\lambda=4$.
On a donc $h=4u+g$.
\clearpage
\subsection{Sens de variation}
\bgprop{\vspace*{-1em}
\bgen[$\bullet$]
\item La somme $f+\lambda$, où $\lambda$ est un nombre réel, à même sens de
variation que $f$.
\item La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) sur
un intervalle $I$ est une fonction croissante
(resp. décroissante).
\item La fonction $\lambda f$, où $\lambda$ est un réel non nul, a même sens
de variation que $f$ si $\lambda$ est strictement positif,
et un sens contraire si $\lambda$ est strictement négatif.
\item La fonction $\dfrac{1}{f}$ a un sens de variation contraire à
celui de $f$.
\item La fonction $\sqrt{f}$ a même sens de variation que $f$.
\enen
}
\bigskip\noindent
\ul{Remarque:} Il n'y a pas de résultat général pourla différence, le
produit et le quotient de deux fonctions.
\bgproof{
\bgen[$\bullet$]
\item {\bf Somme $h=f+\lambda$}.
Supposons par exemple que $f$ soit croissante,
alors, pour tout $x$ et $y$ de $\in\mathcal{D}_f$
tels que $x<y$, on a $f(x)<f(y)$.
On en déduit que $f(x)+\lambda<f(y)+\lambda$, et donc que
$h(x)<h(y)$: $h=f+\lambda$ est aussi croissante.
\item {\bf Somme $h=f+g$}.
Supposons par exemple que $f$ et $g$ soient croissantes,
alors, pour tout $x$ et $y$ de $\in\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g$
tels que $x<y$, on a $f(x)<f(y)$ et $g(x)<g(y)$
On en déduit que $f(x)+g(x)<f(y)+g(y)$, et donc que
$h(x)<h(y)$: $h=f+g$ est aussi croissante.
\item {\bf Produit $h=\lambda f$}.
Supposons par exemple $\lambda>0$ et $f$ soit croissante,
alors, pour tout $x$ et $y$ de $\in\mathcal{D}_f$
tels que $x<y$, on a $f(x)<f(y)$.
On en déduit, comme $\lambda>0$, que $\lambda f(x)<\lambda f(y)$,
et donc que
$h(x)<h(y)$: $h=\lambda f$ est aussi croissante.
\enen
}
\bgex
\bgen[a)]
\item Démontrer que, si $\lambda$ est un réel strictement négatif et $f$
une fonction décroissante sur un intervalle~$I$, alors la fonction
$h=\lambda f$ est croissante sur $I$.
\item Démontrer que si $f$ est une fonction croissante sur un
intervalle $I$, alors $h=\dfrac{1}{f}$ est décroissante sur $I$.
\enen
\enex
\bgex
Etudier le sens de variation des fonctions définies par les
expressions suivantes:
\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}l}
a) $f(x)=\dfrac{1}{2x+1}$
&b) $f(x)=-5x^2$
&c) $f(x)=\dfrac{1}{|x|}$\\
d) $f(x)=\sqrt{-3x+2}$
& e) $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-10$
\end{tabular}
\enex
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par
\[
f(x)=x+|x| \hspace{1cm}\mbox{et,} \hspace{1cm}
g(x)=x-|x|
\]
\bgen
\item Déterminer l'expression de la fonction produit $h=fg$.
\item Tracer sur un m\^eme graphique les courbes représentatives des
fonctions $f$ et $g$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction
\[f : x \mapsto\frac{2x + 5}{x + 1}\]
et on appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique par rapport
à un repère orthogonal du plan.
\bgen
\item Montrer que, pour tout $x \neq -1$, on a :
\[f(x) = 2 + \frac{3}{x+1}\,.\]
\item A l'aide de l'expression précédente, étudier le sens de
variation de la fonction $f$.
\enen
\enex
\subsection{Composition de fonctions}
\bgdef{
Etant donné deux fonctions $f$ et $g$, on définit la fonction $u$
composée de $f $et $g$, notée $u=f\circ g$ ($f$ "rond" $g$) par:
\[
u(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))
\]
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $g(x)=x-2$ et $f(x)=\sqrt{x}$.
Alors, pour tout $x\geqslant 2$,
\noindent
\bgmp{8cm}
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\sqrt{x-2}
\]
\enmp\hspace{1cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(8,2)
\rput(0,0.3){$x$}\psline{->}(0.4,0.3)(3.4,0.3)\rput(2,0.6){$g$}
\rput(4,0.3){$x-2$}\psline{->}(4.6,0.3)(7.3,0.3)
\rput(5.5,0.8){$f$}\rput(8,0.3){$\sqrt{x-2}$}
\rput(4,1.4){$X$}\psline{->}(4.3,1.4)(7.3,1.4)\rput(8,1.4){$\sqrt{X}$}
\psline{->}(0,0)(0,-1)(8,-1)(8,0)
\rput(4,-0.7){$f\circ g$}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
\bgmp{8cm}
\[
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{x}-2
\]
\enmp\hspace{1cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(8,2)
\rput(0,0.3){$x$}\psline{->}(0.4,0.3)(3.4,0.3)\rput(2,0.6){$f$}
\rput(4,0.3){$\sqrt{x}$}\psline{->}(4.6,0.3)(7.3,0.3)
\rput(5.5,0.8){$g$}\rput(8,0.3){$\sqrt{x}-2$}
\rput(4,1.4){$X$}\psline{->}(4.3,1.4)(7.3,1.4)\rput(8,1.4){$X-2$}
\psline{->}(0,0)(0,-1)(8,-1)(8,0)
\rput(4,-0.7){$g\circ f$}
\end{pspicture}
\enmp
Attention, en général, $g\circ f\not=f\circ g$ !
\bgex
Soit $h_1:x\mapsto \sqrt{x-1}$ et $h_2:x\mapsto x^2+1$.
\bgen
\item Donner les ensembles de définition de $h_1$ et $h_2$.
\item Pour chacune des fonctions suivantes, donner son expression et
son ensemble de définition:
\[
h_2\circ h_1 \ \ ;\ \ h_1\circ h_2\ \ ;\ \
h_1\circ h_1 \ \ ; \ \ h_2\circ h_2
\]
\enen
\enex
\bgex
Les fonctions $u$, $v$ et $w$ sont respectivement définies sur les
intervalles $[-2, 4]$, $\left]0 , +\infty\right[$ et $\R$ par
\[u(x) = x + 3\,,\quad
v(x) = \frac{1}{x}\quad\text{et}\quad
w(x) = 2 - 7x\,.
\]
\bgen
\item Soit $f = w\circ v \circ u$.
Démontrer que $f$ est définie par l'expression
$f:x\mapsto 2-\dfrac{7}{x+3}$.
\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $[-2 , 4]$.
\item Encadrer $f(x)$ au mieux sur $[-2 , 4]$.
\enen
\enex
\bgex
\'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par
$f(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{-2x^2+8}}+123$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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