@ccueil Colles

Introduction de la notion de limite d'une suite

Construction et longueur de deux spirales





Spirale harmonique dans un carré

On part du carré $A_0B_0C_0D_0$ de côté 1. On construit ensuite les carrés
  • $A_1B_1C_1D_1$ tel que $A_0A_1=B_0B_1=C_0C_1=D_0D_1=1$,
  • $A_2B_2C_2D_2$ tel que $A_1A_2=B_1B_2=C_1C_2=D_1D_2=\dfrac12$,
  • $A_3B_3C_3D_3$ tel que $A_2A_3=B_2B_3=C_2C_3=D_2D_3=\dfrac13$,
  • $A_nB_nC_2D_2$ tel que $A_{n-1}A_n=B_{n-1}B_n=C_{n-1}C_n=D_{n-1}D_n=\dfrac1n$,

On construit ainsi la spirale $\mathcal{S}_n$ formée par la ligne brisée $A_0A_1A_2A_3\dots A_n$, et on note $l_n$ sa longueur.
On note aussi finalement $\mathcal{S}$ la spirale "complète": la ligne brisée $A_0A_1A_2A_3\dots A_n\dots$.

\[\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-.3,-.3)(4.3,4.3) % 
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,0)(.5,0)(.61785,.11785) 
\pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) 
\rput(-.2,-.2){$A_0$}
\rput(4.2,-.2){$B_0$} 
\rput(4.2,4.2){$C_0$}
\rput(-.2,4.2){$D_0$} 
\pspolygon(1,0)(4,1)(3,4)(0,3) 
\rput(.9,-.3){$A_1$}
\rput(4.3,1){$B_1$} 
\rput(3,4.3){$C_1$}
\rput(-.3,3){$D_1$} 
\pspolygon(1.47434,0.15811)(3.84189,1.47434)(2.52566,3.84189)(0.15811,2.52566) 
\rput(1.5,-.1){$A_2$} 
\pspolygon(1.76,0.31)(3.68,1.76)(2.24,3.65)(0.33,2.3) 
\rput(1.9,.1){$A_3$} 
\psline[linewidth=2.2pt,linecolor=red](0,0)(1,0)(1.47434,0.15811)(1.76,0.31) 
\end{pspicture}\]



Spirale harmonique
longueur (jusque là…): Ln

  1. Donner les longueurs $l_1$, $l_2$ et $l_3$.


  2. Donner l'expression de $l_n$.


  3. Quel est le sens de variation de $(l_n)$ ?


  4. Peut-on trouver un entier naturel $N$ tel que $l_n>4$ pour tout entier $n\geqslant N$ ?


  5. Peut-on trouver un entier naturel $N$ tel que $l_n>6$ pour tout entier $n\geqslant N$ ?


  6. Peut-on trouver un entier naturel $N$ tel que $l_n>10$ pour tout entier $n\geqslant N$ ?


  7. Peut-on trouver un entier naturel $N$ tel que $l_n>100$ pour tout entier $n\geqslant N$ ?


  8. Quelle est alors la longueur de la spirale ?



Spirale géométrique dans un carré


On part de même du carré $A_0B_0C_0D_0$ de côté 4. On construit ensuite les carrés:
  • $A_1B_1C_1D_1$ tel que $A_0A_1=B_0B_1=C_0C_1=D_0D_1=\dfrac14 A_0B_0$,

  • $A_2B_2C_2D_2$ tel que $A_1A_2=B_1B_2=C_1C_2=D_1D_2=\dfrac14 A_1B_1$,



  • $A_nB_nC_nD_n$ tel que $A_{n-1}A_n=B_{n-1}B_n=C_{n-1}C_n=D_{n-1}D_n=\dfrac14 A_{n-1}B_{n-1}$,


On construit ainsi la spirale $\mathcal{S}_n$ formée par la ligne brisée $A_0A_1A_2A_3\dots A_n$, et on note $L_n$ sa longueur.
On note aussi finalement $\mathcal{S}$ la longueur de la spirale "complète": la ligne birsée $A_0A_1A_2A_3\dots A_n\dots$

\[\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,0)(4,4) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \pspolygon(1,0)(4,1)(3,4)(0,3) \pspolygon(1.75,0.25)(3.75,1.75)(2.25,3.75)(0.25,2.25) \pspolygon(2.25,0.625)(3.375,2.25)(1.75,3.375)(0.625,1.75) \pspolygon(2.53125,1.03125)(2.96875,2.53125)(1.46875,2.96875)(1.03125,1.46875) \psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,0)(1,0)(1.75,0.25)(2.25,0.625) (2.53125,1.03125) \rput(-.2,-.2){$A_0$}\rput(4.2,-.2){$B_0$} \rput(4.2,4.2){$C_0$}\rput(-.2,4.2){$D_0$} \rput(.9,-.3){$A_1$}\rput(4.3,1){$B_1$} \rput(3,4.3){$C_1$}\rput(-.3,3){$D_1$} \rput(1.9,.1){$A_2$} \rput(2.4,.4){$A_3$} \rput(2.8,.9){$A_4$} \end{pspicture}\]




Spirale géométrique
longueur de la spirale (jusque là…): ln


  1. Donner les longueurs $L_1$, $L_2$ et $L_3$.


  2. Donner l'expression de $L_n$.


  3. Quel est le sens de variation de $(L_n)$ ?


  4. Peut-on trouver un entier $N$ tel que $L_n>3$ pour tout entier $n\geqslant N$ ?


  5. Peut-on trouver un entier $N$ tel que $L_n>4$ pour tout entier $n\geqslant N$ ?


  6. Peut-on trouver un entier $N$ tel que $L_n>5$ pour tout entier $n\geqslant N$ ?


  7. Que peut-on conjecturer pour les valeurs de $L_n$ pour des "grandes valeurs" de $n$ ?


    Que peut-on dire de la longueur de la spirale, valeur limite de la suite $(L_n)$ ?




Voir aussi: