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Type: Cours
File type: Latex, tex (source)
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Description
Activité de probabilités de 1ère S - Loi binomiale et intervalle de fluctuation
Niveau
Première S
Mots clé
probabilité, loi binomiale, intervalle de fluctuation, sondage, seul de 95%, maths, première, 1ère, S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: probabilités - Loi binomiale et intervalle de fluctuation},
    pdftitle={Probabilités - Loi binomiale et intervalle de fluctuation},
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      probabilités, loi binomiale, intervalle de fluctuation}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
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\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
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\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
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  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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  \noindent
  \paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
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  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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  \hfill$\square$
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Loi binomiale et intervalle de fluctuation}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^\text{ère}$ S - \thepage/\pageref{LastPage}}
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\newcommand{\Cnp}[2]{%
  \mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$

\bgex
Dans un village, on sait (c'est un petit village, tout se sait\dots) 
que 86\% des habitants sont pleinement 
satisfaits de leur maire et vont donc revoter pour lui aux prochaines 
élections municipales. 

Plus par habitude qu'autre chose, un sondage préélectoral est 
mené. 

Pour faire vite, ce sondage est effectué auprès d'un petit échantillon 
de 50 personnes, bien s\^ur 50 personnes prises aléatoirement dans la 
population. 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes, 
dans cet échantillon, annonçant revoter pour le maire actuel. 

\bgen
\item %On suppose la population du village assez nombreuse pour que 
  %le tirage aléatoire de 50 personnes puisse \^etre considéré avec 
  %remise. 
  Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? 
\item Combien de personnes dans cet échantillon s'attend-on 
  à avoir annon\c cant revoté pour le m\^eme maire. % 43
  \\
  Quelle est la probabilité d'avoir cette valeur pour $X$ ? 
  %16\%
\item En fait, comme ces 50 personnes sont tirées au hasard, 
  il n'est pas étonnant d'avoir une valeur différente de celle 
  attendue. 
  Le nombre peut varier, ou fluctuer, d'un échantillon pris au hasard 
  de 50 personnes à un autre échantillon de 50 personnes. 

  \bgen[a)]
  \item Déterminer la probabilité pour que dans un échantillon de 50 
    personnes , il y en ait moins de 10 annon\c cant revoter pour le 
    m\^eme candidat. Commenter. %10^{-25}...
    
  \item Déterminer le plus petit entier $a$ tel que 
    $P(X\leqslant a)\geqslant 2,5\%$. % a=37

  \item Déterminer le plus petit entier $b$ tel que 
    $P(X\leqslant b)\geqslant 97,5\%$. % a=47

    \bigskip
    L'intervalle $[a;b]$ ici trouver s'appelle l'intervalle 
    de fluctuation au seuil de $95\%$: 
    dans une population 
    où 86\% des personnes annoncent revoter pour le maire, 
    il y a une probabilité d'environ 95\% pour que le nombre 
    de personnes dans un échantillon de 50 personnes prises au hasard 
    soit dans l'intervalle $[37;47]$, 
    ou encore que la proportion observée soit dans l'intervalle 
    $\lb \dfrac{37}{50};\dfrac{47}{50}\rb=\lb74\%;94\%\rb$. 
    
    \medskip
    Comparer cete intervalle avec celui vu en seconde:
    $\lb 86\%-\dfrac{1}{\sqrt{n}};86\%+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\rb$.
      
  \enen
\item Sur les 50 personnes interrogées, 35 seulement ont indiqué vouloir 
  revoter pour le maire actuel. Qu'en penser ? 
\enen
\enex


\bgex
Une usine s'est implantée aux abords d'une ville il y a maintenant quelques 
années. Cette usine tra\^ite des produits chimiques dont on ne sait pas 
encore évaluer l'influence sur l'environnement et l'homme en particulier. 
Depuis son ouverture, la maternité de la ville à enregistré 6200 naissances, 
dont seulement 3025 filles. 

On considère que, normalement, les probabilités de naissance d'un garçon 
et d'une fille sont égales. 

\bgen
\item \`A combien de naissances de filles s'attend-on ? 
\item Déterminer, comme dans l'exercice précédent, les valeurs du plus
  grand entier $a$ et du plus petit entier $b$ tels que 
  $P(X\leqslant a)\geqslant 2,5\%$ % a=3023
  et 
  $P(X\leqslant b)\geqslant 97,5\%$. % a=3177
\item Que conclure de ces résultats ? 

\item Comparer avec la formule de l'intervalle de fluctuation 
  $\lb p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\rb$.
\enen

% [a;b]=[3023;3177]
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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