Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: probabilités},
pdftitle={Probabilités - Répétition d'expériences - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
probabilités, répétition d'expériences,
Bernoulli, schéma de Bernoulli, loi binomiale
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\stepcounter{nex}
\medskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
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\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Répétition d'expériences - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{ère}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}
\newcommand{\Cnp}[2]{%
\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\bgex
Dans une ville du bord de mer, les routes sont toutes orientées
Ouest-Est ou Nord-Sud.
On souhaite, en partant du point $A$, rejoindre la plage.
Pour ce faire, on se déplace toujours sur le plan de gauche à droite
et de haut en bas.
De nombreux itinéraires sont envisageables, et on souhaite justement
les dénombrer.
Dénombrer le nombre de chemins différents menant du point $A$,
$A'$ et $A''$
aux points $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_1'$, $P_2'$,\dots\, au bord de plage dans chacun des cas suivants.
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(3,0.5)
\psline(0,-2)(0,0)(2,0)
\psline(0,-1)(1,-1)
\psline(1,-1)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-2)(2,0)
% \psline[linestyle=dashed](0,-3)(3,0)
%
\rput(-0.1,0.1){$A$}
\rput(0.1,-2.15){$P_1$}
\rput(1.1,-1.15){$P_2$}
\rput(2.1,-.15){$P_3$}
\rput(1.6,-1.6){Plage}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(0,-5)(4,0.5)
\psline(0,-3)(0,0)(3,0)
\psline(0,-1)(2,-1)
\psline(0,-2)(1,-2)
\psline(1,-2)(1,0)
\psline(2,-1)(2,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-2)(2,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(3,0)
%
\rput(-0.1,0.1){$A'$}
\rput(0.1,-3.15){$P_1'$}
\rput(1.1,-2.15){$P_2'$}
\rput(2.1,-1.15){$P_3'$}
\rput(3.1,-.15){$P_4'$}
\rput(2.2,-2.2){Plage}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(0,-5)(5,0.5)
\psline(0,-4)(0,0)(4,0)
\psline(0,-1)(3,-1)
\psline(0,-2)(2,-2)
\psline(0,-3)(1,-3)
\psline(1,-3)(1,0)
\psline(2,-2)(2,0)
\psline(3,-1)(3,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-2)(2,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(3,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-4)(4,0)
%
\rput(-0.1,0.1){$A''$}
\rput(0.1,-4.15){$P_1''$}
\rput(1.1,-3.15){$P_2''$}
\rput(2.1,-2.15){$P_3''$}
\rput(3.1,-1.15){$P_4''$}
\rput(4.1,-0.15){$P_5''$}
\rput(2.7,-2.7){Plage}
\end{pspicture}
\enex
\vspace{-2.cm}
\bgex
\bgen
\item On lance une pièce bien équilibrée 2 fois successivement.
\bgen[a)]
\item Représenter la situation par un arbre.
\item Combien de façons y-a-t'il d'obtenir exactement:
0 fois Pile ? \
1 fois Pile ? \
2 fois Pile ?
\enen
\item Mêmes questions en lançant 3 fois successivement cette pièce:
combien de façons y-a-t'il d'obtenir exactement
0 fois Pile, 1 fois Pile, 2 fois Pile et 3 fois Pile ?
\item Mêmes questions en lançant 4 fois successivement cette pièce:
combien de façons y-a-t'il d'obtenir exactement
0 fois Pile, 1 fois Pile, 2 fois Pile, 3 fois Pile et 4 fois Pile ?
\enen
\enex
\bgex Exprimer les nombres recherchés à l'aide des coefficients
binomiaux.
\bgen
\item Combien y'a-t-il de façons de choisir 2 as parmi les 4 as d'un
jeu de carte ?
\item Dans une classe de 30 élèves, on doit choisir 2 délégués.
Combien de façons y a-t-il de les choisir ?
\item Combien de mots de passe de 4 caractères alphabétiques peut-on
former ?
\enen
\enex
\bgex
Effectuer les calculs des coefficients binomiaux de l'exercice 3.
\enex
\bgex
On tire au hasard cinq cartes dans un jeu de 32 cartes.
\bgit
\item[a)] Combien de mains différentes peut-on former ?
\item[b)] Quel est le nombre de mains différentes qui contiennent les
4 as ?
\item[c)] En déduire la probabilité d'avoir un carré d'as.
\enit
\enex
\bgex
On lance une pièce de monnaie équilibrée 10 fois de suite.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 6 fois "pile".
\enex
\bgex
On tire au hasard successivement et avec remise trois cartes dans un
jeu de 32 cartes.
A chaque tirage, tirer un as est considéré comme un succès.
\bgen
\item Montrer qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'as tirés.
Donner la loi de probabilité de $X$.
\enen
\enex
\bgex
Une urne contient 4 boules: 1 verte et 3 rouges.
On tire 3 fois de suite une boule dans cette urne, en y replaçant la
boule tirée après chaque tirage.
On note $S$ l'événement "tirer une boule verte", et $X$ la variable
aléatoire égale au nombre de fois que la boule verte est tirée.
\bgen
\item Décrire la situation par un arbre pondéré, et montrer que $X$
suit une loi binomiale.
\item Calculer la probabilité des événements $X=0$, $X=1$, $X=2$ et
$X=3$.
\enen
\enex
\bgex
Un élève répond au hasard aux 6 questions d'un QCM.
A chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule est
exacte.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bonnes
réponses.
\bgen
\item Montrer que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale
dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'élève a d'avoir exactement 3
bonnes réponses.
\item Calculer la probabilité que l'élève a d'avoir au moins 3
bonnes réponses.
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce
résultat.
\enen
\enex
\vspace{-.3cm}
\bgex
Dans une ville de 50\,000 habitants, on a recensé 1\,000 cas de
grippe.
On s'intéresse au nombre d'enfants malades dans une crèche de 30
enfants.
On note $X$ le nombre d'enfants atteints par la grippe et on modélise
la loi de $X$ par une loi binomiale.
\bgen
\item Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$.
\item Calculer la probabilité des événements suivants:\\
a) $A$:"Deux enfants exactements sont malades" \quad
b) $B$:"Il y a au moins un enfant malade".
\enen
\enex
\vspace{-.3cm}
\bgex
Une étude statistique a montré qu'une mère qui possède un caractère
génétique C le transmet à son enfant dans un cas sur dix.
Une femme, qui possède ce caractère génétique C, souhaite fonder une
famille de quatre enfants.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre
d'enfants parmi les quatre qui présentant le caractère C.
\bgen
\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ?
\item Calculer la probabilité de l'événement:
"Un enfant au moins présente le caractère C".
\item L'événement: "Deux enfants ou plus présentent le caractère C."
est-il très improbable ?
\enen
\enex
%\vspace{-.3cm}
%\bgex
%Dans chacun des cas suivants, la variable aléatoire $X$ suit-elle une loi
%binomiale ?
%Donner le cas échéant les valeurs des paramètres de la loi
%binomiale associée.
%\bgit
%\item[1.] On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
% note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de 2 obtenus parmi
% ces lancers.
%
%\item[2.] On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
% note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer pour
% lequel on obtient le chiffre 6.
%
%\item[3.] On lance 10 fois successivement 2 dés à jouer non pipés, et on
% note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où une somme
% de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 dés.
%
%\item[4.] Une branche présente 10 fleurs blanches ou roses réparties au
% hasard.
% On compte au total 2 fleurs blanches et 8 fleurs roses.
% On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, et on note $X$ la
% variable aléatoire égale au nombre de fleurs blanches cueillies.
%\enit
%\enex
\bgex
Une machine produit des pièces dont, en moyenne, 5\,\% sont
défectueuses.
On prépare des lots en prélèvant au hasard 10 pièces dans la
production.
Le nombre de pièces dans le stock est assez important pour que l'on
puisse considérer le tirage comme étant avec remise.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses
sur nos 10 pièces prélevées.
\bgen
\item Montrer que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale
dont on précisera les paramètres.
\item Calculer les probabilités des événements:
$"X=0"$, $"X=1"$, $X=2$, et $"X\geqslant 3"$.
\enen
\enex
\bgex
En france, il y a environ 12\,\% de gauchers.
On considère une classe de 30 élèves,
et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de gauchers dans
cette classe.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
Préciser ses paramètres.
\item Combien d'élèves gauchers peut-on s'attendre à trouver dans la classe ?
\item Déterminer la probabilité qu'il y ait un seul gaucher dans la
classe.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait 2 gauchers ou plus dans la
classe.
\enen
\enex
\bgex Un homme se présente dans un village gaulois et se déclare
devin.
Les habitant sceptiques se proposent de tester ses dons en lui
demandant de deviner les résultats de 10 lancers d'une pièce
équlibrée.
Il donne 8 fois la bonne réponse.
\bgen
\item On suppose que les réponses du devin sont données au hasard.
Calculer dans ce cas la probabilité qu'il donne 8 fois la bonne
réponse.
\item Les habitants du village (experts bien en probabilité)
seront-ils enclins à croire ce devin ?
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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