Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
suites, suites numériques, exercices}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\medskip{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\paragraph{\fbox{Propriété}}% \arabic{ntheo}}
%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ncorol}
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\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{\ul{Définition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}.}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites numériques - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE - $1^\text{ère}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.9cm}
\hfill{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\vspace{-0.2cm}
\bgex
On définit la suite $(u_n)$ par
$\la\bgar{ll} u_0=1000 \\ u_{n+1}=1,04\,u_n\enar\right.$
%Alors, $u_0=1000$,
%$u_1=1,04\tm u_0=1,04\tm 1000=1040$,
%$u_2=1,04\tm u_1=1,04\tm 1040=1081,6$,
%$u_3=1,04\tm u_2= \ \dots$\hspace{1cm}
%$u_{50}=1,04 u_{49}$ \ \dots
Donner $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$ et $u_{50}$.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f:x\mapsto 3x-2$.
\bgen[a)]
\item On définie la suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Calculer $u_1$, $u_2$, $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$.
\item On définie la suite $(v_n)$ par $v_0=2$ et $v_{n+1}=f(v_n)$.
Calculer $v_1$, $v_2$, $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par
$f(x)=6-\dfrac{5}{x+1}$ et la suite $(u_n)$
telle que $u_0=1$ et $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$.
\bgen[a)]
\item \'Etudier le sens de variation de $f$.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
d'unité graphique 2\,cm.
\item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses puis construire graphiquement
(sans calcul !)
sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par
$f(x)=1+\dfrac{5}{x+1}$ et la suite $(u_n)$
telle que $u_0=\dfrac12$ et $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$.
\bgen[a)]
\item \'Etudier le sens de variation de $f$.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
d'unité graphique 2\,cm.
\item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses puis construire graphiquement
(sans calcul !)
sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\enen
\enex
\bgex Etudier le sens de variation des suites définies
par les expressions:\\[.4em]
\begin{tabular}{*4{p{3.8cm}}}
a) $u_n=n^2-n+2$ &
b) $u_n=\dfrac{2^n}{3^n}$ &
c) $u_n=\dfrac{3n-2}{n+1}$ &
d) $u_n=-\dfrac{1}{3}n+3$ \\[.8em]
\multicolumn{3}{l}{e) $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour $n\geq 1$, $u_{n+1}=u_n-n$} &
f) $u_n=(n-5)^2$\\[.8em]
g) $u_n=-\lp\dfrac{1}{2}\rp^n$&
h) $u_n=\dfrac{2^{n+2}}{3^n}$ &
i) $u_n=\dfrac{n^2+1}{2n}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
\'Etudier (de deux manières différentes !)
le sens de variation des suites définies par: \\[.5em]
\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
$a) u_n=\dfrac{3n-2}{n+1}$ &
$b) u_n=-\dfrac13 n +3$ &
$c) u_n=(n-5)^2$ &
$d) u_n=n-1+\dfrac{4}{n+1}$ \\[.8em]
$e) u_n=\dfrac{n^2+1}{2n}$ &
$f) u_n=n+(2n-3)^3$ &
$g) u_n=n^2-10n+26$ &
$h) u_n=2n^3-30n^2+54n$
\end{tabular}
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n$
par la relation $u_{n+1}=u_n+1$. \\
Alors, $u_1=\ \dots$, $u_2=\ \dots$, $u_3=\ \dots$ .
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=\ \dots$.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie par la relation $v_n=5n+2$.
\vspd\noindent
Alors, pour tout entier $n$,
$v_{n+1}-v_n=$ \dots .
\vspd\noindent
On en déduit que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison
$r=\quad\dots$
\item La suite $(w_n)$ définie par la relation $w_n=n^2+2$
est-elle arithmétique ?
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=-5$ et
de raison $r=2$.
Calculer $u_{3002}$.
\item Soit la suite arithmétique $(v_n)$ de premier terme $v_2=1200$
et de raison $r=-10$.
Calculer $v_{25}$.
A partir de quel rang la suite est-elle négative ?
\enen
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que
$u_{10}=-70$ et $u_{25}=80$.
Calculer la raison $r$ de cette suite, puis calculer $u_0$ et $u_{1212}$.
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme
$u_0=0,2$ et de
raison $q=\dfrac14$. \\
Calculer $u_{4}$ et $u_{20}$.
\enex
\bgex
On utilise une feuille de papier, d'épaisseur $e=0,5$ mm,
que l'on replie successivement en deux.
Quelle est l'épaisseur de la feuille après le premier pliage ?
après le deuxième ? après le $n^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ ?\\[.4em]
Combien de fois faudrait-il replier cette feuille en deux pour obtenir une
épaisseur supérieure à la hauteur de la tour Eiffel (environ 300 m) ?
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie par $\dsp u_0=\frac{1}{2}$ et, pour tout
entier naturel $n$, $\dsp u_{n+1}=\frac{u_n}{1+2 u_n}$.
On définit la suite $(v_n)$ à partir de $(u_n)$ par
$\dsp v_n=\frac{1}{u_n}+1$.
\bgen
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
Préciser son premier terme et sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier
naturel $n$, $\dsp u_{n+1}=\frac{4 u_n}{4-u_n}$. \\
On définit la suite $(v_n)$ à partir de la suite $(u_n)$ par la
relation $\dsp v_n=\frac{3u_n+2}{u_n}$.
\bgen
\item Montrer que $(v_n)$ est arithmétique.
\item Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
\enen
\enex
\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par
$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ \dsp u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{4}
\enar\right.$, et $(v_n)$ est définie par $\dsp v_n=u_n-\frac{1}{2}$.
\bgen
\item Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$ et conjecturer la
nature de la suite $(v_n)$.
\item Prouver que la suite $(v_n)$ est géométrique.
\item Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
\enen
\enex
\bgex Calculer les sommes : \\
a) $S=1+2+4+8+16+\dots+1024$\hfill
b) $P=3+5+7+9+\dots+121$\hfill
c) $\dsp Q=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}$
\enex
\bgex Résoudre les équations: \\
a) $1+x+x^2+x^3+\dots+x^7=0$ \hfill
b) $\dfrac1x+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}+\dots+\dfrac{1}{x^8}=0$
\hfill
c) $27x^7+9x^5+3x^3+x=0$
\enex
\bgex Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$
par $u_n=3^n+4n-3$. \\
On note $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par
$v_n=3^n$ et $w_n=4n-3$.
\bgen[a)]
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et que $(w_n)$
est une suite arithmétique
\item Calculer $V_n=v_0+v_1+\dots+v_n$ et $W_n=w_0+w_1+\dots+w_n$.
\item En déduire la somme, en fonction de $n$,
$U_n=u_0+u_1+\dots+u_n$.
\enen
\enex
\bgex Soit $(u_n)$ la suite définie par les deux premiers termes
$u_0=1$ et $u_1=2$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+2}=1,5 u_{n+1}-0,5 u_n$.
\bgen[1)]
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_{n+1}-u_n$
est géométrique.
\item Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Calculer en fonction de $n$ la somme
$S_n=0,5+(0,5)^2+(0,5)^3+\dots+(0,5)^n$.
\item Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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