Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: suites numériques},
pdftitle={Suites numériques},
pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
suites, suites numériques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\textheight=27.2cm
\textwidth=18.6cm
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\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\paragraph{\fbox{Propriété}}% \arabic{ntheo}}
%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\newcounter{ncorol}
\setcounter{ncorol}{1}
\newlength{\lcorol}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\lcorol}{Propriété \arabic{ncorol}}
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-1.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ncorol}
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{\ul{Définition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}.}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites numériques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE - $1^\text{ère}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.6cm}
\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$
\vspace{-0.7cm}
\section{Définition}
\vspace{-0.7cm}
\bgdef{
Une suite $u$ est une fonction de $\N$ dans $\R$.
Une suite $u$ est donc un procédé qui à tout entier $n$ associe le
nombre $u(n)$.
\vspd
On note en général $u_n$ le {\bf terme d'indice $n$} au lieu de
$u(n)$, et la suite est notée $(u_n)$, ou $(u_n)_{n\in\N}$
au lieu de $u$:
$u_n$ est \textbf{\ul{un}} nombre de la suite, et
$(u_n)$ désigne \textbf{\ul{l'ensemble de tous les nombres}} de la~suite.
}
\bigskip\noindent
\bgmp{10cm}
\ul{Ex:}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=2n-3$,
alors $u_0=-3$, $u_1=-1$, $u_2=1$, $u_3=3$ \dots
\vspq
$u_{20}=\ \dots\ $ \vspq
$u_{50}=\ \dots\ $ \vspq
$u_{5250}=\ \dots\ $ \vspq
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,0.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(4.8,0)\rput(5,0){$n$}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3.5)(0,3.5)\rput(-0.2,3.7){$u_n$}
\multido{\i=-3+1}{7}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(4.2,\i)
\rput(-0.4,\i){\i}
}
\multido{\i=0+1}{5}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,3.2)
}
\rput(0.85,-0.3){$1$}\rput(1.85,-0.3){$2$}
\rput(3.85,-0.3){$3$}
%\psplot[plotpoints=4,plotstyle=dots]{0}{3}{2 x mul -3 add}
\rput(0,-3){$\bullet$}
\rput(1,-1){$\bullet$}
\rput(2,1){$\bullet$}
\rput(3,3){$\bullet$}
\end{pspicture}
\enmp
\bigskip
\noindent
{\bf\large Définition explicite:}
\bgmp[t]{\linewidth-\widthof{\bf\large Définition explicite:}}
Dans l'exemple précédent, le terme général $u_n$ est l'image de
l'entier $n$ par une fonction usuelle:
\[u_n=f(n)\]
où $f$ est la fonction affine $f:x\mapsto 2x-3$.
\enmp
\bigskip\noindent
\textit{Autres exemples:}
$\bullet$ $\dsp u_n=2n^2-3n+5$;
$u_n=f(n)$ avec la fonction du second degré
$\dsp f:x\mapsto\quad\dots$%2x^2-3x+5
$\bullet$ $\dsp v_n=\frac{6n+3}{n+1}$;
$v_n=g(n)$ avec la fonction rationnelle
$\dsp g:x\mapsto\quad\dots$%\frac{6x+1}{x+1}
%\vspd
%$\bullet$ $\dsp v_n=\frac{6n^2+2n-3}{n+5}$;
%$v_n=g(n)$ avec la fonction rationnelle
%$\dsp g:x\mapsto\quad\dots$%\frac{6x^2+2x-3}{x+5}$
\vspd
$\bullet$ $w_n=2^n$;
$w_n=h(n)$ avec la fonction exponentielle
$\dsp h:x\mapsto\quad\dots$% 2^x$
\bigskip\noindent
\ul{Remarque:} $u_n=f(n)$: on ne considère que les images de $f$
pour des valeurs entières, et non pas pour tous les nombres réels
d'un intervalle:
on dit alors qu'on {\bf échantillonne}, ou qu'on
{\bf numérise}, la fonction~$f$.
\bigskip
\bgmp{5.2cm}
\psset{xunit=.65cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.2,-1)(5,5.2)
\rput[l](0.5,5.2){\textbf{Fonction et sa courbe}}
\nwc{\f}[1]{#1 4 exp -0.12 mul
#1 3 exp 0.9 mul add
#1 2 exp 1.5 mul sub
1.6 add}
\nwc{\g}[1]{\f{#1 1 sub .8 mul}}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.2,0)(7.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,5.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot{0}{7.2}{\g{x}}
\rput(7.5,3){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dotted](4.5,0)(!4.5\space\g{4.5})(!0\space\g{4.5})
\rput(4.5,-.3){$x$}
\rput[r](!-.3\space\g{4.5}){$f(x)$}
\end{pspicture}
\enmp
\hfill
\bgmp{5.2cm}
\psset{xunit=.65cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.2,-1)(5,5.2)
\rput[l](0.5,5.2){\textbf{\'Echantillonnage}}
\nwc{\f}[1]{#1 4 exp -0.12 mul
#1 3 exp 0.9 mul add
#1 2 exp 1.5 mul sub
1.6 add}
\nwc{\g}[1]{\f{#1 1 sub .8 mul}}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.2,0)(7.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,5.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot{0}{7.2}{\g{x}}
\rput(7.5,3){$\mathcal{C}_f$}
%
\multido{\i=0+1}{8}{
\rput(!\i \space \g{\i}){$\bullet$}
\rput(\i,-.3){$\i$}
}
\end{pspicture}
\enmp
\hfill
\bgmp{5.2cm}
\psset{xunit=.65cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.2,-1)(5,5.2)
\rput[l](0.5,5.2){\textbf{\'Echantillons / suite}}
\nwc{\f}[1]{#1 4 exp -0.12 mul
#1 3 exp 0.9 mul add
#1 2 exp 1.5 mul sub
1.6 add}
\nwc{\g}[1]{\f{#1 1 sub .8 mul}}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.2,0)(7.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,5.2)
%\psplot{0}{7.2}{\g{x}}
%\rput(6.5,3){$\mathcal{C}_f$}
%
\multido{\i=0+1}{8}{
\rput(!\i \space \g{\i}){$\bullet$}
\rput(\i,-.3){$\i$}
}
\rput(!-.4 \space \g{0}){$u_0$}
\psline[linestyle=dotted](!0 \space \g{1})(!1 \space \g{1})
\rput(!-.4 \space \g{1}){$u_1$}
\psline[linestyle=dotted](!0 \space \g{2})(!2 \space \g{2})
\rput(!-.4 \space \g{2}){$u_2$}
\psline[linestyle=dotted](!0 \space \g{3})(!3 \space \g{3})
\rput(!-.4 \space \g{3}){$u_3$}
\end{pspicture}
\enmp
\bigskip\noindent
{\bf\large Définition par récurrence:}
\bgmp[t]{\linewidth-\widthof{{\bf\large Définition par récurrence:}}}
On peut définir une suite en se donnant son premier terme $u_0$ et une
relation qui permet de calculer un terme de la suite à partir de son
prédécesseur:
on connaît $u_0$, à partir duquel on peut calculer $u_1$, à partir
duquel on peut calculer $u_2$, \ \dots
\enmp
\bgex
On définit la suite $(u_n)$ par
$\la\bgar{ll} u_0=1000 \\ u_{n+1}=1,04\,u_n\enar\right.$
%\vspd
%Alors, $u_0=1000$,
%$u_1=1,04\tm u_0=1,04\tm 1000=1040$,
%$u_2=1,04\tm u_1=1,04\tm 1040=1081,6$,
%$u_3=1,04\tm u_2= \ \dots$\hspace{1cm}
%$u_{50}=1,04 u_{49}$ \ \dots
Donner $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$ et $u_{50}$.
\enex
\bigskip
Plus généralement, une suite est définie par récurrence par une relation
de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$,
où $f$ est une fonction définie, a priori, sur $\R$.
\vspq\noindent
\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f:x\mapsto 3x-2$.
\bgen[a)]
\item On définie la suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Calculer $u_1$, $u_2$, $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$.
\item On définie la suite $(v_n)$ par $v_0=2$ et $v_{n+1}=f(v_n)$.
Calculer $v_1$, $v_2$, $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par
$f(x)=6-\dfrac{5}{x+1}$ et la suite $(u_n)$
telle que $u_0=1$ et $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$.
\bgen[a)]
\item \'Etudier le sens de variation de $f$.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
d'unité graphique 2\,cm.
\item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses puis construire graphiquement
sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par
$f(x)=1+\dfrac{5}{x+1}$ et la suite $(u_n)$
telle que $u_0=\dfrac12$ et $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$.
\bgen[a)]
\item \'Etudier le sens de variation de $f$.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
d'unité graphique 2\,cm.
\item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses puis construire graphiquement
sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\enen
\enex
\vspace{-0.5cm}
\section{Sens de variation d'une suite}
\vspace{-0.5cm}
\bgdef{\vspace{-1em}
\bgen[$\bullet$]
\item Une suite $(u_n)$ est {\bf croissante}
si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geqslant u_n$.
\item Une suite $(u_n)$ est {\bf décroissante}
si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$.
\item Une suite $(u_n)$ est {\bf constante}
si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n$.
\item Une suite croissante ou décroissante est dite
{\bf monotone}.
\enen
}
\bigskip
\'Etudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$ revient donc à comparer,
{\bf pour tout entier $n$}, les termes consécutifs $u_{n+1}$ et~$u_n$,
soit aussi à étudier le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$.
\vspd
\bgex Etudier le sens de variation des suites définies
par les expressions:\\[.4em]
\begin{tabular}{*4{p{3.8cm}}}
a) $u_n=n^2-n+2$ &
b) $u_n=\dfrac{2^n}{3^n}$ &
c) $u_n=\dfrac{3n-2}{n+1}$ &
d) $u_n=-\dfrac{1}{3}n+3$ \\[.8em]
\multicolumn{3}{l}{e) $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour $n\geq 1$, $u_{n+1}=u_n-n$} &
f) $u_n=(n-5)^2$\\[.8em]
g) $u_n=-\lp\dfrac{1}{2}\rp^n$&
h) $u_n=\dfrac{2^{n+2}}{3^n}$ &
i) $u_n=\dfrac{n^2+1}{2n}$
\end{tabular}
\enex
\bgprop{
Soit $(u_n)$ la suite définie {\bf explicitement} par $u_n=f(n)$,
où $f$ une fonction définie sur $\R_+$, alors
$(u_n)$ et $f$ ont le m\^eme sens de variation:
\bgit
\item si $f$ est croissante, alors la suite $(u_n)$ est
croissante,
\item si $f$ est décroissante, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.
\enit
}
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:}
Si par exemple $f$ est croissante sur $\R_+$, alors pour tout entier $n$,
comme $n+1>n$, on a aussi $f(n+1)>f(n)$,
c'est-à-dire exactement que $u_{n+1}>u_n$, donc $(u_n)$
est croissante.
\medskip\noindent
\bgmp{10cm}
\ul{Remarque:} La réciproque est fausse.
\vspd
Par exemple, soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=f(n)$ avec la
fonction $f(x)=x+\sin(2\pi x)$.
Alors, pour tout entier $n$, $u_n=n+\sin(2\pi n)=n$, et donc $(u_n)$
est croissante (c'est la suite des entiers naturels), tandis que $f$
n'est pas monotone sur $\R$.
\enmp
\hspace{0.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,6.)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)\rput(6.,-0.4){$n$}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)\rput(-0.4,6.){$u_n$}
\multido{\i=1+1}{5}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,0)(\i,\i)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,\i)(\i,\i)
\rput(-0.6,\i){$u_{\i}$=\i}
\rput(\i,-0.3){\i}
}
\psplot[plotpoints=150,linewidth=1.2pt]{-0.5}{5.5}{
360 x mul sin
x add
}
\rput(5.8,5.8){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspq
\bgex
\'Etudier (de deux manières différentes !)
le sens de variation des suites définies par: \\[.5em]
\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
$a) u_n=\dfrac{3n-2}{n+1}$ &
$b) u_n=-\dfrac13 n +3$ &
$c) u_n=(n-5)^2$ &
$d) u_n=n-1+\dfrac{4}{n+1}$ \\[.8em]
$e) u_n=\dfrac{n^2+1}{2n}$ &
$f) u_n=n+(2n-3)^3$ &
$g) u_n=n^2-10n+26$ &
$h) u_n=2n^3-30n^2+54n$
\end{tabular}
\enex
\section{Suites particulières}
\subsection{Suites arithmétiques}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est
obtenu en ajoutant la même quantité $r$, appelée {\bf raison} de la
suite, au terme précédent.
Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n + r \quad \iff\quad u_{n+1}-u_n=r$.
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.2)(10,1)
\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
\multido{\i=1+2}{5}{
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
\rput(\i,.4){$+r$}
\setcounter{cpt}{\i-1}
\setcounter{indic}{\i/2}
\rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
}
\put(10.8,-0.6){\dots}
\put(9.8,-1){\dots}
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
\rput(13,.4){$+r$}
\rput(12,-1){$u_{n}$}
\rput(14,-1){$u_{n+1}$}
\put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}
\bgex
\bgen[a)]
\item Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n$
par la relation $u_{n+1}=u_n+1$. \\
Alors, $u_1=\ \dots$, $u_2=\ \dots$, $u_3=\ \dots$ .
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=\ \dots$.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie par la relation $v_n=5n+2$.
\vspd\noindent
Alors, pour tout entier $n$,
$v_{n+1}-v_n=$ \dots .
\vspd\noindent
On en déduit que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison
$r=\quad\dots$
\item La suite $(w_n)$ définie par la relation $w_n=n^2+2$
est-elle arithmétique ?
\enen
\enex
\bgprop{
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de
raison $r$, alors, pour tout entier~$n$,
$u_n=u_0+nr$.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} Par définition d'une suite arithmétique,
$u_1=u_0+r$, $u_2=u_1+r=(u_0+r)+r=u_0+2r$, et donc la propriété est
vraie pour les deux premiers termes.
De plus, si on la suppose vraie pour un entier $p$ quelconque:
$u_p=u_0+pr$, alors au rang suivant,
$u_{p+1}=u_p+r=(u_0+pr)+r=u_0+(p+1)r$: la propriété est encore vraie
pour l'entier suivant $(p+1)$.
Ainsi la propriété s'étend, de proche en proche, à tous les entiers
naturels, et donc, pour tout entier naturel $n$,
$u_n=u_0+r$.
\vspd
{\it \ul{Remarque:}
Cette technique de démonstration s'appelle une {\bf démonstration par récurrence}.
}
\vspd
\bgex
\bgen
\item Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=-5$ et
de raison $r=2$.
Calculer $u_{3002}$.
\item Soit la suite arithmétique $(v_n)$ de premier terme $v_2=1200$
et de raison $r=-10$.
Calculer $v_{25}$.
A partir de quel rang la suite est-elle négative ?
\enen
\enex
\bgprop{
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors, quels que
soient les entiers $m$ et $p$,
$u_n-u_p=(n-p)r$.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} D'après le théorème précédent,
$u_m=u_0+mr$ et $u_p=u_0+pr$, d'où, en soustrayant ces deux égalités,
$u_m-u_p=(m-p)r$.
\bgex
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que
$u_{10}=-70$ et $u_{25}=80$.
Calculer la raison $r$ de cette suite, puis calculer $u_0$ et $u_{1212}$.
\enex
\subsection{Suites géométriques}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est
obtenu en multipliant par la même quantité $q$ , appelée
{\bf raison} de la suite, le terme précédent.
Pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=q\tm u_n \quad\iff\quad \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,1)
%\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
%\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
\multido{\i=1+2}{5}{
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
\rput(\i,.4){$\tm q$}
\setcounter{cpt}{\i-1}
\setcounter{indic}{\i/2}
\rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
}
\put(10.8,-0.6){\dots}
\put(9.8,-1){\dots}
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
\rput(13,.4){$\tm q$}
\rput(12,-1){$u_{n}$}
\rput(14,-1){$u_{n+1}$}
\put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}
\vspq\noindent
{\bf\large Exemples:}
$\bullet$ La suite de nombres $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, \dots
des puissances successives de $2$ est la suite géométrique de raison
$q=2$ et de premier terme $u_0=1$.
\vspd\noindent
$\bullet$ la suite $(v_n)$ de terme général $v_n=(-1)^n$, pour laquelle
$v_0=1$, $v_1=-1$, $v_2=1$, $v_3=-1$, \dots
est la suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison $q=-1$.
\vspd\noindent
$\bullet$ Soit la suite $(w_n)$ définie par la relation $w_n=2\tm 3^n$.
\vspd
Alors, pour tout entier $n$,
$\dsp \frac{v_{n+1}}{v_n}=$ \dots
\vspd
On en déduit que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=$
\dots
\vspq
\bgprop{
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de
raison $q$, alors, pour tout entier $n$,
$v_n=v_0\tm q^n$.
}
\vspd
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme
$u_0=0,2$ et de
raison $q=\dfrac14$. \\
Calculer $u_{4}$ et $u_{20}$.
\enex
\vspq
\bgex
On utilise une feuille de papier, d'épaisseur $e=0,5$ mm,
que l'on replie successivement en deux.
Quelle est l'épaisseur de la feuille après le premier pliage ?
après le deuxième ? après le $n^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ ?\\[.4em]
Combien de fois faudrait-il replier cette feuille en deux pour obtenir une
épaisseur supérieure à la hauteur de la tour Eiffel (environ 300 m) ?
\enex
\vspq
\bgprop{
Soit $(u_n)$ une suite géométrique non nulle de raison $q\not=0$, alors,
pour tous entiers $m$ et $p$, \\
%quels que soient les entiers $m$~et~$p$, \ \
\[\dfrac{u_m}{u_p}=q^{m-p}\]
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
D'après le théorème précédent,
$u_m=u_0\tm q^m$, et $u_p=u_0\tm q^p$, et donc, en divisant terme à
terme ces deux relations (car si $q\not=0$, $u_p\not=0$),
$\dsp \frac{u_m}{u_p}=\frac{u_0\,q^m}{u_0\,q^p}=q^{m-p}$.
\vspd
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie par $\dsp u_0=\frac{1}{2}$ et, pour tout
entier naturel $n$, $\dsp u_{n+1}=\frac{u_n}{1+2 u_n}$.
On définit la suite $(v_n)$ à partir de $(u_n)$ par
$\dsp v_n=\frac{1}{u_n}+1$.
\vspd
\bgit
\item[1)] Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
Préciser son premier terme et sa raison.
\vspd
\item[2)] Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier
naturel $n$, $\dsp u_{n+1}=\frac{4 u_n}{4-u_n}$.
On définit la suite $(v_n)$ à partir de la suite $(u_n)$ par la
relation $\dsp v_n=\frac{3u_n+2}{u_n}$.
\bgit
\item[1)] Montrer que $(v_n)$ est arithmétique.
\vspd
\item[2)] Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
\enit
\enex
\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par
$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ \dsp u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{4}
\enar\right.$, et $(v_n)$ est définie par $\dsp v_n=u_n-\frac{1}{2}$.
\vspd
\bgit
\item[1)] Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$ et conjecturer la
nature de la suite $(v_n)$.
\vspd
\item[2)] Prouver que la suite $(v_n)$ est géométrique.
\vspd
\item[3)] Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
\enit
\enex
\section{Sommes des termes d'une suite}
Soit $(u_n)$ une suite, on cherche à calculer la somme des termes
$S=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+\dots+u_{q-1}+u_q$.
Cette somme contient : \fbox{\raisebox{0cm}[0.8cm]{\hspace{3cm}}} termes.
\subsection{Suite arithmétique}
\bgprop{
La somme des $n$ premiers entiers naturels est :
$\dsp S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
\[
\bgar{ccccccccccccccc}
S_n &=& 1 &+& 2 &+& 3 &+& \dots &+& n-2 &+& n-1 &+& n \vspd\\
S_n &=& n &+& n-1 &+& n-2 &+& \dots &+& 3 &+& 2 &+& 1 \vspd\\
2S_n &=& (n+1) &+& (n+1) &+& (n+1) &+& \dots &+& (n+1) &+& (n+1) &+& (n+1)
\enar
\psline[linewidth=1pt](-16.3,-0.25)(0,-0.25)
\]
\vspd
La somme contient \quad\dots\quad termes, et donc on trouve ainsi,
$2S_n=\quad\dots\quad$%n(n+1)$
, soit $\dsp S_n=\quad\dots$%\frac{n(n+1)}{2}$.
\bgprop{
La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale
au produit du nombre de termes par la moyenne des termes extrêmes:
$\dsp u_p+u_{p+1}+\dots+u_{q-1}+u_{q}=(q-p+1)\frac{u_p+u_q}{2}$
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de
raison $r$,
alors,
\vspd
\hspace{-0.4cm}$S=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}\dots+u_{q-1}+u_{q}=
u_p+\Big(u_p+r\Big)+\Big(u_p+2r\Big)+\dots+\Big(u_p+(q-1-p)r\Big)+\Big(u_p+(q-p)r\Big)
$
soit,
$\bgar{ll}
S&=(p-q+1)u_p + r \Big[ 1+2+\dots+(q-1-p)+(q-p)\Big] \vspd\\
&=\dsp(p-q+1)u_p + r \frac{(q-p)(q-p+1)}{2}\ ,\ \
\mbox{d'après la propriété
précédente}\vspd\\
&=\dsp\frac{(q-p+1)}{2}\Big[ 2u_p+(q-p)r\Big]
=\frac{(q-p+1)}{2}\Big[ u_p+ \underbrace{u_p+(q-p)r} \Big]\\
&\hspace{10cm}=u_q
\enar$
\subsection{Suite géométrique}
\bgprop{
Pour tout réel $q\not=1$,
$\dsp 1+q+q^2+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
Pour $q=1$, $1+q+q^2+\dots+q^n=1+1+1+\dots+1=n$.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Pour $q\not=1$,
$S=1+q+q^2+\dots+q^n$, et donc,
$qS=q+q^2+\dots+q^{n+1}=S-1+q^{n+1}$,
\vspq
d'où,
$S-qS=(1-q)S=\quad\dots$
%$(q-1)S=-1+q^{n+1}$, et alors
%$\dsp S=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\bgprop{
La somme de $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique, de
premier terme $a$ et de raison $q$ est : \ \
$\dsp a\frac{1-q^n}{1-q}$.
}
\bgex Calculer les sommes : \\
a) $S=1+2+4+8+16+\dots+1024$\hfill
b) $P=3+5+7+9+\dots+121$\hfill
c) $\dsp Q=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}$
\enex
\bgex Résoudre les équations: \\
a) $1+x+x^2+x^3+\dots+x^7=0$ \hfill
b) $\dfrac1x+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}+\dots+\dfrac{1}{x^8}=0$
\hfill
c) $27x^7+9x^5+3x^3+x=0$
\enex
\bgex Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$
par $u_n=3^n+4n-3$. \\
On note $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par
$v_n=3^n$ et $w_n=4n-3$.
\bgen[a)]
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et que $(w_n)$
est une suite arithmétique
\item Calculer $V_n=v_0+v_1+\dots+v_n$ et $W_n=w_0+w_1+\dots+w_n$.
\item En déduire la somme, en fonction de $n$,
$U_n=u_0+u_1+\dots+u_n$.
\enen
\enex
\bgex Soit $(u_n)$ la suite définie par les deux premiers termes
$u_0=1$ et $u_1=2$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+2}=1,5 u_{n+1}-0,5 u_n$.
\bgen[1)]
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_{n+1}-u_n$
est géométrique.
\item Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Calculer en fonction de $n$ la somme
$S_n=0,5+(0,5)^2+(0,5)^3+\dots+(0,5)^n$.
\item Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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