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Description
Cours de mathématiques - Géométrie vectorielle analytique: vecteurs et équations de droites, réduite et cartésienne
Niveau
1ère S
Table des matières
  • Rappels: repère, coordonnées et équation réduite de droite
  • Vecteurs colinéaires
  • Equation cartésienne d'une droite
  • Exercices
Mots clé
géométrie, équation de droites, vecteurs, coordonnées, cours de mathématiques, maths, 1S, 1ère S, première
Voir aussi:

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pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathmatiques: algorithmique},
    pdftitle={Algorithmique},
    pdfkeywords={Mathmatiques, 1S, premire S, gomtrie, 
    vecteurs, droites, coordonnes, repre, quation de droite, 
    quation cartsienne}
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\voffset=-1.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Proprit \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Proprit}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Dfinition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Gomtrie vectorielle analytique}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{re}}}S$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{re}}}S$

\section{Rappels: Repre, coordonnes et quation rduite de droite}

\vspace{-0.4cm}

\bgdef{
  Un repre du plan est constitu par: 
  \bgit
  \item[$\bullet$] le choix d'un point {\bf origine du repre} 
    (not en gnral $O$)
  \item[$\bullet$] le choix d'un 
    {\bf couple de vecteurs non colinaires} 
    (en gnral $(\vec{i},\vec{j})$).
  \enit
  On note un tel repre $(O;\vec{i},\vec{j})$. 

  \bgmp[t]{8cm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(10,5)

    \rput(0,4.5){{\bf Repre orthonormal}}
    \rput(0,4){$\vec{i}\perp\vec{j}$, et $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|$}
    \rput(-0.3,-0.3){$O$}
    \psline(-2.4,0)(2.4,0)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
    \rput(.5,-0.3){$\vec{i}$}
    \psline(0,-2.4)(0,3.4)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
    \rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
    \multido{\i=-2+1}{5}{
      \psline[linestyle=dashed](\i,-2.2)(\i,3.2)
    }
    \multido{\i=-2+1}{6}{
      \psline[linestyle=dashed](-2.2,\i)(2.2,\i)
    }

    \rput(5,4.5){{\bf Repre orthogonal}}
    \rput(5,4){$\vec{i}\perp\vec{j}$}
    \rput(4.7,-1.3){$O$}
    \psline(2.6,-1)(7.4,-1)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(5,-1)(6,-1)
    \rput(5.5,-1.3){$\vec{i}$}
    \psline(5,-3.4)(5,2.4)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(5,-1)(5,1)
    \rput(4.7,-.5){$\vec{j}$}
    \multido{\i=3+1}{5}{
      \psline[linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,3.2)
    }
    \multido{\i=-3+2}{4}{
      \psline[linestyle=dashed](2.8,\i)(7.2,\i)
    }
  \rput(12,4.5){{\bf Repre quelconque}}
  \rput(12,4){$\vec{i}$, $\vec{j}$ quelconques}
  \end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}\vspace{-3cm}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\newlength{\xydef}\setlength{\xydef}{1.5cm}
\begin{pspicture}*(-3.5,-5)(7,5)
% Les axes principauex : 
\psline[linewidth=1.5pt](-6.8,0)(7.,0)
\psline[linewidth=1.5pt](-2.2,-3.3)(2.2,3.3)
% Le quadrillage : 
\newlength{\tmpxd}\newlength{\tmpxf}
\multido{\n=-6+1.5}{12}{
  \setlength{\tmpxd}{-2cm-\n\xydef}
  \setlength{\tmpxf}{2cm-\n\xydef}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](\tmpxd,-3)(\tmpxf,3)
}
\multido{\n=-3+1.0}{7}{
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](-7,\n)(7,\n)
}
% On indique le repre en rouge : 
\put(-.6,-.45){{$O$}}
\psline[linewidth=3pt]{->}(0,0)(2.3,0)
\put(0.4,-0.5){{$\vec{i}$}}
\psline[linewidth=3pt]{->}(0,0)(0.667,1)
\put(-0.2,0.4){{$\vec{j}$}}
\end{pspicture}	
}
\enmp
}

\vspace{-0.5cm}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgth{
  Dans le repre $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
  tout point $M$ du plan admet un unique couple de coordonnes $(x;y)$ 
  tel que
  \[\V{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}\]

  Les coordonnes d'un vecteur $\vec{w}$ sont celles du point $M$ tel
  que $\V{OM}=\vec{w}$. 
}
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,1.5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.2){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.3,0.9)\rput(-0.1,0.45){$\vec{j}$}
  \psline(-0.4,0)(3,0)
  \psline(-0.3,-.9)(0.6,1.8)\rput(-0.3,-0.2){$O$}
  \psline{->}(0,0)(2.2,1.2)
  \psline[linestyle=dashed](1.8,0)(2.2,1.2)
  \psline[linestyle=dashed](0.4,1.2)(2.2,1.2)
  \rput(2.4,1.4){$M$}\rput(1,0.8){$\vec{w}$}
  \rput(1.8,-0.2){$x$}
  \rput(0.2,1.2){$y$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspace{-0.2cm}
\bgprop{
  Dans le repre $(O;\vec{i},\vec{j})$. 
  \bgit
  \item[1)] Deux vecteurs sont gaux si et seulement si ils ont les
    mmes coordonnes: 
    
    \[ \mbox{ si }\ \vec{u}(x;y) \ \mbox{ et, }\  \vec{v}(x';y')
    \ \mbox{alors, }\ 
    \vec{u}=\vec{v} 
    \Longleftrightarrow \la\bgar{l}x=x'\\y=y'\enar\right.\]
  \item[2)] Si $\vec{u}$ a pour coordonnes $(x;y)$ et $\vec{v}$ a
    pour coordonnes $(x';y')$, alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour
    coordonnes $(x+x';y+y')$. 
    
    Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnes $(kx;ky)$. 
  \item[3)] Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonnes
    $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ alors, 
    \bgit
    \item[$\bullet$] $\V{AB}$ a pour coordonnes
      $(x_B-x_A;y_B-y_A)$
    \item[$\bullet$] le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnes
      $\dsp \lp\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\rp$
    \item[$\bullet$] si le repre $(O;\vec{i},\vec{j})$ est
      orthonormal, alors la longueur du vecteur $\V{AB}$ est 
      \[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
    \enit
\enit
}

\bgex
Soit dans un repre les points 
$A(-1;1)$, $B(2;3)$, $C(-2;-4)$ et $D(1;-2)$. 

Montrer de deux manires diffrentes que le quadrilatre $ABDC$ est un
paralllogramme. 
\enex

\bgex
Soit dans un repre $A(2;3)$, $B(-5;7)$ et $C(3;-12)$. 

Dterminer les coordonnes des vecteurs 
$\V{AB}$, $\V{BC}$, $\V{AC}$, et $\vec{u}=\V{AB}+\V{BC}$. 

Que retrouve-t-on ? 
\enex

\bgprop{{\bf Equation rduite d'une droite}
  
  Toute droite $D$ non parallle  l'axe des ordonnes admet une quation
  de la forme $y=ax+b$ o $a$ et $b$ sont deux nombres rels,

  \bgit
\item[$\bullet$] le point $A(0;b)$ appartient   la droite $D$; 
  $b$ s'appelle ainsi l'ordonne  l'origine de la droite $D$. 
\item[$\bullet$] Lorsque $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $a$; 
  $a$ s'appelle le coefficient directeur de la droite. 
  \enit
}

  
\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Toute droite d'quation $y=ax+b$ est la
reprsentation graphique de la fonction affine $f(x)=ax+b$. 

Les points de $\Cf$ sont les points $M(x;y)$ tels que 
$y=f(x)$, soit $y=ax+b$. 

\psset{xunit=.9cm,yunit=.7cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,6)
  \rput(-2.8,5){\ul{Exemple:}\ \ $D:y=2x-2$}
  
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
  
  \psplot{-0.8}{3.5}{2 x mul -2 add}\rput(4,5){$D$}
  \psline[linestyle=dashed]{->}(2,2)(3,2)
  \rput(2.5,1.7){$1$}
  \psline[linestyle=dashed]{->}(3,2)(3,4)
  \rput(3.8,3){$a=2$}
  
  \psline(-0.2,-2)(0.2,-2)\rput(-1,-2){$b=-2$}
  
\end{pspicture}

\bgex
Tracer les droites $D_1:y=3x-2$ et $D_2:y=-2x+1$.
\enex



\bgprop{Les droites d'quations $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$ sont
  parallles si et seulement si $a=a'$. 
}

\section{Vecteurs colinaires}

\bgdef{
  Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinaires
  lorsqu'ils ont la mme direction. 
}

\bgth{
  \bgit
  \item[$\bullet$] Deux vecteurs $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{CD}$
    sont colinaires si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$
    sont parallles.  

  \item[$\bullet$] Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
    colinaires si et seulement si il existe un nombre rel $k$ tel
    que $\vec{u}=k\vec{v}$, c'est--dire si et seulement si les
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont proportionnels. 
  \enit
}

\bgth{Les vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont
  colinaires si et seulement si $xy'-x'y=0$. 
}

\bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont
colinaires. 

\vsp\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et 
$\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$.
\enex

\pagebreak
\bgex
Dans un repre, soit les vecteurs 
$\vec{u}(2;3)$, $\vec{v}(-4;6)$ et 
$\vec{w}(-4;3)$. 

Le vecteur $\vec{z}=2\vec{u}-3\vec{v}$ est-il colinaire au vecteur
$\vec{w}$ ?
\enex


\bgex Dans chaque cas, 
dterminer le rel $m$ pour que les deux vecteurs $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ soient colinaires. 

\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$.
\hspace{0.5cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et 
$\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$.
\hspace{0.5cm}
c) $\dsp\vec{u}(2m;3m)$ et $\vec{v}(-2;3m)$
\enex



\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] Trois points $A$, $B$ et $C$ sont aligns si et
    seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont colinaires. 

  \item[$\bullet$] Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallles si et
    seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$ sont colinaires. 
  \enit
}

\bgex Dans un repre, on donne les points: 
\[ A(-2;1)\ ;\ B(3;3) \ ;\ 
C\lp 1;\frac{11}{5}\rp\ ;\ D\lp\frac{45}{2};\frac{54}{5}\rp
\]
\bgit
\item[a)] Dmontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont aligns. 
\item[b)] Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils aligns ?
\enit
\enex


\bgex
Dans un repre $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points 
$A(-2;3)$, $B(4;7)$ et $C(3;2)$. 

\bgen
\item Dmontrer que les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont parallles. 
\item $M(x;0)$ est un point de l'axe des abscisses. 
  Calculer $x$ pour que $A$, $B$ et $M$ soient aligns. 
\enen
\enex

\bgex
Dans un repre $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points 
$A(-3;2)$ et $B(-1;7)$. 

Le point $M\lp-6;-\dfrac{11}{2}\rp$ est-il un point de $(AB)$ ?
\enex


\section{Equation cartsienne d'une droite}


\noindent
\bgmp{12cm}
\bgdef{
  Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur $\vec{u}$, non
  nul, dont la direction est celle de $d$. 
}
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(2,1)
  \psline(-0.9,-0.3)(4.2,1.4)\rput(4,1.6){$d$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.6,0.2)(1.8,0.6)\rput(1.1,0.7){$\vec{u}$}
  \rput(0,0){$\tm$}\rput(0,0.3){$A$}
  \rput(2.7,0.9){$\tm$}\rput(2.7,1.2){$B$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.8,-0.8)(3,-0.4)\rput(2.4,-0.3){$\vec{u}$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Remarques:} 
\bgit
\item[$\bullet$] Si $A$ et $B$ sont deux points de la droite $d$,
  alors $\V{AB}$ est un vecteur directeur de $d$. 
\item[$\bullet$] Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, alors 
  pour tout rel $k$, $k\not=0$, $k\vec{u}$ est aussi un vecteur
  directeur de $d$. 
\enit

\bgth{
  Soit $d$ et $d'$ deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et
  $\vec{u}'$, alors 
  \[
  d /\!\!/ d' \iff \vec{u} \mbox{ et } \vec{u}' \mbox{ colinaires}
  \]
}

\bgth{Dans un repre, 
  \bgen
  \item Toute droite $d$ a une quation de la forme 
    $ax+by+c=0$, avec $a\not=0$ ou $b\not=0$. 

    Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est alors un vecteur directeur de $d$. 

  \item Si $a$, $b$ et $c$ sont trois rels, avec 
    $a\not=0$ ou $b\not=0$, alors l'ensemble des points $M(x;y)$ du
    plan tels que $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur 
    $\vec{u}(-b;a)$. 
  \enen  

  \vspd
  Une quation de la forme $ax+by+c=0$ s'appelle une 
  {\bf quation cartsienne} de la droite $d$. 
}

\bgproof{
  \bgen
  \item Soit une droite $d$, $A(x_0;y_0)$ un point de $d$, 
    et $\vec{u}(p;q)$ un vecteur directeur de $d$. 

    Soit $M(x;y)$ un point de $d$, alors les vecteurs 
    $\vec{u}(p;q)$ et $\V{AM}(x-x_0;y-y_0)$ sont colinaires, 
    donc, 
    $p(y-y_0)-q(x-x_0)=0 \iff py-qx-py_0+qx_0=0
    \iff ax+by+c=0$ 
    avec $a=-q$, $b=p$ et $c=py_0-qx_0$. 

  \item Rciproquement, soit $d$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels
    que $ax+by+c=0$, alors, 
    \bgit
    \item[$\bullet$] si $b\not=0$, 
      $ax+by+c=0\iff y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$. 

      Cette quation est de la forme $y=mx+p$ qui est l'quation
      rduite d'une droite. 

    \item[$\bullet$] si $b=0$, alors $a\not=0$, et 
      $ax+by+c=0\iff ax+c=0 \iff x=-\dfrac{c}{a}$, qui est l'quation
      de la droite d'quation $x=-\dfrac{c}{a}$ parallle  l'axe des
      ordonnes. 
    \enit
  \enen
}

\bgex
Donner une quation cartsienne de la droite $d$ d'quation 
$y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{5}$. 
\enex

\bgex
Dans chacun des cas, dire si les droites $d$ et $d'$ sont parallles: 
\bgen
\item Les droites $d$ et $d'$ ont pour quations 
  $2x-3y+67=0$ et $8x-12y+0,3=0$. 
\item Les droites $d$ et $d'$ ont pour quations 
  $x-\dfrac{4}{7}y+2=0$ et $\dfrac{5}{3}x-y+3=0$. 
\item $d$ a pour vecteur directeur 
  $\vec{u}=\dfrac{-9}{2}\vec{i}+3\vec{j}$ et $d'$ a pour quation 
  $2x+3y-3=0$. 
\enen
\enex

\bgcorol{
  La droite d'quation rduite $y=mx+p$ a pour vecteur directeur 
  $\vec{u}(1;m)$. 
}

\bgproof{
  $y=mx+p \iff mx-y+p=0$, et les coordonnes d'un vecteur directeur
  se trouve en utilisant le thorme prcdent: 
  $\vec{u}\lp-(-1);m\rp=(1;m)$.
}


\bgex
Dterminer une quation cartsienne de la droite $d$ passant par
$A(-2;5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=(2;3)$. 
\enex

\bgex
On donne les points $A(1;-1)$ et $B(3;2)$. 
Dterminer une quation de la droite $d$ passant par $A$ et $B$. 
\enex

\bgex
Dterminer une quation de la droite $d$ passant par le point
$A(-5;3)$ et qui a pour coefficient directeur $m=\dfrac{2}{3}$. 
\enex

\bgex
Dans un repre $(0;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points 
$A(1;5)$, $B(-3;2)$ et $C(5;-1)$. 

\bgen
\item Dterminer une quation cartsienne de la droite $d$ passant par
  $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$. 
\item Dterminer une quation cartsienne de la droite $d'$ passant
  par $A$ et parallle  $(BC)$. 
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item Dmontrer que les droites d'quations respectives $5x-2y-4=0$ 
  et $y=-2,5x+0,5$ ne sont pas parallles. 
\item Tracer ces droites dans un repre $(O;\vec{i},\vec{j})$. 
\item Quelles sont les coordonnes de leur point d'intersection ?
\enen
\enex

\bgex
Pour quelle valeur du nombre $m$, les droites $d$ et $d'$
d'quations respectives $3x+y=0$ et 
$(2m-1)x+(m-3)y-1=0$ sont-elles parallles ?
\enex


\bgex
\bgen
\item Les vecteurs $\vec{u}\lp2\sqrt{3};3\rp$ et $\vec{v}\lp4;2\sqrt{3}\rp$
  sont-ils colinaires ? 
\item Le point $A(6;3)$ est-il un point de la droite 
  $d: 2x-5y+3=0$ ?
\item Dterminer une quation de la droite $d$ passant par le point
  $A(0;2)$ et de coefficient directeur~$3$. 
\item Dterminer une quation de la droite $d$ passant par 
  $A(1;5)$ et $B(-102;-201)$. 
\item La droite $d$ passant par les points $A(-3;22)$ et
  $B(112;-553)$ est-elle parallle  la droite $d'$ dont le
  coefficient directeur vaut $-5$ ?
\item La droite $d$ a pour quation $2x-3y+5=0$. 
  Quelle est son ordonne  l'origine ? 
\item La droite $d$ a pour quation $2x-3y+5=0$. 
  Dterminer les coordonnes des points d'intersection de la droite
  $d$ avec les axes du repre. 
\item Soit la droite $d$ d'quation $3y-x+1=0$. 
  Donner un point et un vecteur directeur de $d$. 
\item Trouver une quation de la droite $\Delta$ passant par le point
  $A(-1;4)$ et parallle  la droite $d$ d'quation 
  $3x-2y+1=0$. 
\item Trouver une quation de la droite $d$ passant par le point
  $C(3;2)$ et parallle  la droite $d$ passant par les points 
  $A(-1;5)$ et $B(2;-2)$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $\Delta$ la droite passant par le point $M(1;-1)$ et de vecteur
directeur $\vec{u}(1;3)$. 
Soit de plus les points $A(8;7)$ et $B(-2;3)$. 

La droite $\Delta$ passe-t-elle par le milieu $I$ de $[AB]$ ?
\enex

\bgex
Dans chacun des cas suivants, dire si les droites $d$ et $d'$ sont
confondues, parallles distinctes ou scantes. 
Si ces droites sont scantes, calculer les coordonnes de leur point
d'intersection. 

\vspd
\begin{tabular}{*4{p{4.4cm}}}
  a)\ $\la\bgar{ll} 2x-y+5=0\\ 3x-5y+6=0\enar\right.$
  &b)\ $\la\bgar{ll} 8x+2y+6=0\\ 3x+\dfrac{3}{4}y-5=0\enar\right.$
  &c)\ $\la\bgar{ll} x+3y-6=0\\ \dfrac{1}{3}x+y-2=0\enar\right.$
\end{tabular}
\enex

\bgex
Vrifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinaires, et 
dterminer des rels $a$ et $b$ tels que 
$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$. 

\bgen
\item $\vec{u}(3;-1)$; $\vec{v}(1;4)$; $\vec{w}(5;7)$. 
\item $\vec{u}\lp\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4}\rp$; 
  $\vec{v}(-4;1)$; 
  $\vec{w}(-2;4)$. 
\enen
\enex

\bgex Dans un repre $(O;\vec{i},\vec{j})$, 
la droite $d_1$ passe par le point $A(4;3)$ et a pour vecteur
directeur $\vec{u}(3;2)$. 
La droite $d_2$ passe par le point $B(6;0)$ et a pour vecteur
directeur $\vec{v}(2;-1)$. 

$d_3$ est une droite passant par $C(4;-2)$ et $\vec{w}$ est un de ses
vecteurs directeurs. 

\vsp
Dmontrer que $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont concourantes si et seulement
si $\vec{w}$ est colinaire au vecteur $4\vec{i}-9\vec{j}$. 

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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